Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Impedancja i wskazy AC
Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z
Metoda
Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.
Moc AC i współczynnik mocy
Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Częstotliwość drgań własnych
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energia
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy
Imax = V0√(C/L)
Dobroć
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Częstotliwości połowy mocy
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy
e−Rt/(2L)
Metoda
Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.
Moc w układach trójfazowych
Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η
Stany nieustalone RC i RL
Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ
Metoda
Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Liczby zespoloneŚredni
Liczba z = 4·e−j2,5 ma kąt w radianach. Znajdź jej część urojoną b.
r = 4θ = −2,5 rad
b =
2.Liczby zespoloneTrudny
Jednym z pierwiastków równania z³ + 11z² + 43z + 65 = 0 jest z₁ = −3 + j2. Współczynniki są rzeczywiste. Znajdź pierwiastek rzeczywisty r.
z₁ = −3 + j2
r =
3.Impedancja i wskazy ACŚredni
Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 24 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 150 mH
|Z| = Ω
4.Impedancja i wskazy ACTrudny
Szeregowy obwód RLC ma R = 5 Ω, L = 5 mH i C = 0,047 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.
R = 5 ΩL = 5 mHC = 0,047 µF
Q =
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
Silnik jednofazowy pobiera 23 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 400 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.
P = 23 kWpf = 0,65V = 400 V
Q = kvar
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
Odbiornik jednofazowy pobiera 5 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 400 V, 60 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,98. Wyznacz moc bierną QC, którą musi dostarczyć kondensator.
P = 5 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98V = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni
Kondensator 10 µF naładowany do 12 V drga z idealną cewką 220 µH. Wyznacz energię WL zgromadzoną w cewce w chwili, gdy napięcie na kondensatorze wynosi 3 V, w µJ.
C = 10 µFV0 = 12 VvC = 3 V
WL = µJ
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny
Równoległy obwód rezonansowy składa się z kondensatora 22 nF i cewki 22 µH o rezystancji uzwojenia 2 Ω. W rezonansie zachowuje się jak rezystor o rezystancji dynamicznej RD = L/(C·r). Wyznacz RD w kΩ.
L = 22 µHC = 22 nFr = 2 Ω
RD = kΩ
9.Moc w układach trójfazowychŚredni
Symetryczny odbiornik połączony w trójkąt o impedancji 24 + j18 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 208 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.
VL = 208 VZ = 24 + j18 Ω na fazę
P = kW
10.Moc w układach trójfazowychTrudny
Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 120 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 415 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.
P = 120 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.Stany nieustalone RC i RLŚredni
Przez cewkę płynie ustalony prąd 2,5 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Ile czasu potrzeba, aby prąd spadł do 0,625 A? Wyznacz t.
i(0) = 2,5 AR = 10 ΩL = 68 mH
t = ms
12.Stany nieustalone RC i RLTrudny
Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 3 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 11,4 V? Wyznacz t.
Vs = 15 VR = 3,3 kΩC = 47 µFvC(0) = 3 V
t = ms
13.Thévenin i NortonŚredni
Między a–b podłączono obciążenie RL = 2 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia IL.
V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 ΩRL = 2 Ω
IL = A
14.Thévenin i NortonTrudny
Wyznacz prąd Nortona IN: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.
V1 = 24 VIs = 3 AR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni
Znajdź fazę ∠G(jω) G(s) = 35(s + 18)/(s(s + 15)) przy ω = 15 rad/s, w stopniach.
G(s) = 35(s + 18)/(s(s + 15))ω = 15 rad/s
∠G(jω) = °
16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny
Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 2/(s(s + 1)(s + 2)). Znajdź zapas wzmocnienia GM w dB.
L(s) = 2/(s(s + 1)(s + 2))
GM = dB
3Roztwory
1.Liczby zespolone
Odpowiedź: b = −2,394
Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.
Wzór Eulera
z = 4·(cos −2,5 + j sin −2,5)
Składowe (radiany)
a = 4·cos −2,5 = −3,205
b = 4·sin −2,5 = −2,394
b = −2,394
Odpowiedź
b = −2,394
2.Liczby zespolone
Odpowiedź: r = −5
Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Reaktancja
XL = ωL = 2π·60·0,15 = 56,55 Ω
Prądy gałęzi
Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.
IR = V/R = 24/25 = 0,96 A
IX = V/XL = 24/56,55 = 0,4244 A
Prąd całkowity
Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.
I = √(IR² + IX²) = √(0,96² + 0,4244²) = 1,05 A
Impedancja
|Z| = V/I = 24/1,05 = 22,87 Ω
Odpowiedź
|Z| = 22,87 Ω
4.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: Q = 65,23
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Częstotliwość rezonansowa
f0 = 1/(2π·√(0,005·0,047·10⁻⁶)) = 10382 Hz
Dobroć
Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Kąt
φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169
Moc bierna
Q = P·tan φ = 23·1,169 = 26,89 kvar
Odpowiedź
Q = 26,89 kvar
6.Moc AC i współczynnik mocy
Odpowiedź: QC = 4,83 kvar
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Moc bierna przed i po
Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.
Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(49,46°) = 5,846 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(11,48°) = 1,015 kvar
QC = Q1 − Q2 = 4,83 kvar
Odpowiedź
QC = 4,83 kvar
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: WL = 675 µJ
Rezonans LC: naładowany kondensator połączony z cewką wymusza prąd, który ładuje go w przeciwną stronę: energia przepływa między polem elektrycznym C (½Cv²) a polem magnetycznym L (½Li²) z częstotliwością drgań własnych f0 = 1/(2π√(LC)). Bez rezystancji całkowita energia ½CV0² jest stała, więc prąd szczytowy wynosi Imax = V0√(C/L). Jeden okres to T = 1/f0; energia przechodzi z C do L w ciągu jego ćwierci.
Energia całkowita
½·1 × 10⁻⁵·12² = 0,00072 J
Energia pozostała w kondensatorze
½·1 × 10⁻⁵·3² = 4,5 × 10⁻⁵ J
Energia w cewce
WL = 0,000675 J = 675 µJ
Odpowiedź
WL = 675 µJ
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: RD = 0,5 kΩ
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Rezystancja dynamiczna
RD = 2,2 × 10⁻⁵/(2,2 × 10⁻⁸·2) = 500 Ω = 0,5 kΩ
Sprawdzenie za pomocą Q
Q = (1/r)·√(L/C) = 15,81, Q²·r = 500 Ω
Odpowiedź
RD = 0,5 kΩ
9.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: P = 3,461 kW
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Napięcie fazowe
Vph = VL = 208 V
Prąd fazowy
|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 208/30 = 6,933 A
Całkowita moc czynna
Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.
P = 3·Iph²·R = 3·6,933²·24 = 3,461 kW
Odpowiedź
P = 3,461 kW
Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,8, a √3·VL·IL·cos φ daje tę samą moc.
10.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: Cph = 714,2 µF
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.
Moc bierna przed i po
Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar
Moc bierna z kondensatorów
QC = Q1 − Q2 = 115,9 kvar
Pojemność na fazę
W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Stała czasowa
τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6,8 ms
Wyznacz czas
0,625 = 2,5·e−t/τ → t = τ·ln(2,5/0,625)
t = 6,8·ln(4) = 9,427 ms
Odpowiedź
t = 9,427 ms
12.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: t = 186,7 ms
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa
Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.
t = τ·ln((3 − 15)/(11,4 − 15)) = 155,1·ln(3,333) = 186,7 ms
Odpowiedź
t = 186,7 ms
13.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IL = 0,2449 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,765 + 2 = 3,765 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·2/(15+2) = 1,412 V
Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina
Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.
IL = Vth/(Rth + RL) = 1,412/(3,765 + 2) = 0,2449 A
14.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IN = 6,429 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,667 + 2 = 4,667 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 16 + 3·2,667 = 24 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24 + 3·2 = 30 V
Układ zastępczy Nortona
Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.
IN = Vth/Rth = 30/4,667 = 6,429 A
15.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: ∠G(jω) = −95,19 °
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.