Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Dane są z₁ = 2∠100° i z₂ = 4∠65°. Znajdź część rzeczywistą liczby w = z₁/z₂.

z₁ = 2∠100°z₂ = 4∠65°

Re(w) =

2.Liczby zespoloneTrudny

Pierwiastki zⁿ = w z n = 5 i w = 32∠−90° to z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 4. Znajdź część rzeczywistą z₁.

w = 32∠−90°n = 5k = 1

Re(z₁) =

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 22 µF

φ = °

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

f₀ = Hz

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Odbiornik o impedancji Z = 7 + j24 Ω jest podłączony do jednofazowego zasilania 230 V (skuteczne). Wyznacz pobieraną przez niego moc czynną P.

V = 230 VZ = 7 + j24 Ω

P = W

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Transformator jednofazowy 200 kVA zasila odbiornik 135 kW przy współczynniku mocy 0,85 (indukcyjnym). Ile dodatkowej mocy czynnej ΔP można dołączyć jako odbiornik rezystancyjny (współczynnik mocy równy 1), zanim transformator osiągnie swoją moc znamionową w kVA?

S_max = 200 kVAP₁ = 135 kWpf₁ = 0,85

ΔP = kW

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

Szeregowy obwód RLC rezonuje przy 10 kHz z Q = 1,5. Wyznacz dokładnie dolną częstotliwość połowy mocy f₁ w kHz.

f₀ = 10 kHzQ = 1,5

f₁ = kHz

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Częstotliwości połowy mocy krzywej rezonansowej wynoszą 900 kHz i 1,08 MHz. Wyznacz częstotliwość rezonansową jako ich średnią geometryczną, a następnie dobroć Q.

f₁ = 900 kHzf₂ = 1,08 MHz

Q =

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 80 A ze źródła o napięciu przewodowym 208 V. Współczynnik mocy wynosi 0,88 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 208 VI_L = 80 Acos φ = 0,88

P = kW

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 250 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,95 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 250 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W(∞) zgromadzoną w cewce po ustaleniu się stanu obwodu, w mJ.

V_s = 10 VR = 47 ΩL = 220 mH

W(∞) = mJ

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 9 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 5,4 V, dokładnie 200 ms po starcie. Przy R = 4,7 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 9 VV_th = 5,4 VT = 200 msR = 4,7 kΩ

C = µF

13.Thévenin i NortonŚredni

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 2 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia I_L.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

14.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz napięcie Thévenina V_th widziane z zacisków a–b.

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

Znajdź fazę ∠G(jω) G(s) = 40(s + 7)/(s(s + 4)) przy ω = 3 rad/s, w stopniach.

G(s) = 40(s + 7)/(s(s + 4))ω = 3 rad/s

∠G(jω) = °

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 70/(s(s + 3)(s + 10)). Znajdź częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀, przy której ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 70/(s(s + 3)(s + 10))

ω₁₈₀ = rad/s

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: Re(w) = 0,4096

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Moduł i argument w

|w| = 2 / 4 = 0,5

θ = 100° − 65° = 35°

Postać algebraiczna

Re(w) = 0,5·cos(35°) = 0,4096

Im(w) = 0,5·sin(35°) = 0,2868

Re(w) = 0,4096

Odpowiedź

Re(w) = 0,4096

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: Re(z₁) = 1,176

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Moduł pierwiastków

32^1/5 = 2

Argument pierwiastka

θ₁ = (−90° + 360°·1)/5 = 54°

Postać algebraiczna

z₁ = 2·(cos 54° + j sin 54°) = 1,176 + j1,618

Re(z₁) = 1,176

Odpowiedź

Re(z₁) = 1,176

Pierwiastki (5) leżą na okręgu o promieniu 2, w odstępach 72°.

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −45,49 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−101,7)²) = 142,6 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−101,7/100) = −45,49°

Odpowiedź

φ = −45,49°

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 339,3 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·2,2·10⁻⁶)) = 339,3 Hz

Odpowiedź

f₀ = 339,3 Hz

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: P = 592,5 W

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 230/25 = 9,2 A

Moc czynna

P = I²·R = 9,2²·7 = 592,5 W

Odpowiedź

P = 592,5 W

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: ΔP = 46,66 kW

Moc bierna istniejącego odbiornika

Q₁ = 135·tan(arccos 0,85) = 83,67 kvar

Największa łączna moc czynna

Przy pełnym obciążeniu znamionowym S = S_max, a odbiornik rezystancyjny nie zmienia Q.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 83,67²) = 181,7 kW

Dodatkowa moc czynna

ΔP = 181,7 − 135 = 46,66 kW

Odpowiedź

ΔP = 46,66 kW

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: f₁ = 7,208 kHz

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Składnik z pierwiastkiem

√(1 + 1/(4·1,5²)) = 1,054

Dolna częstotliwość połowy mocy

f₁ = 10000·(1,054 − 0,3333) = 7208 Hz = 7,208 kHz

Odpowiedź

f₁ = 7,208 kHz

Górna wynosi f₂ = 13,87 kHz; sprawdzenie: f₂ − f₁ = 6,667 kHz = f₀/Q.

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: Q = 5,477

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = √(900000·1,08 × 10⁶) = 985901 Hz

Pasmo przenoszenia

BW = 1,08 × 10⁶ − 900000 = 180000 Hz

Dobroć

Q = 985901/180000 = 5,477

Odpowiedź

Q = 5,477

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 25,36 kW

Moc pozorna

S = √3·V_L·I_L = √3·208·80 = 28,82 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 28,82·0,88 = 25,36 kW

Odpowiedź

P = 25,36 kW

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 731,3 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,72) = 250·0,9639 = 241 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,95) = 250·0,3287 = 82,17 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 158,8 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 52931/(314,2·480²) = 731,3 µF

Odpowiedź

C_ph = 731,3 µF

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W(∞) = 4,98 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4,681 ms

i(∞) = V_s/R = 10/47 = 0,2128 A

Zgromadzona energia

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·220·0,2128² = 4,98 mJ

Odpowiedź

W(∞) = 4,98 mJ

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 46,44 µF

Wymagana stała czasowa

5,4 = 9·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(9/(9 − 5,4))

τ = 200/0,9163 = 218,3 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 218,3/4,7 = 46,44 µF

Odpowiedź

C = 46,44 µF

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_L = 0,6923 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·5/(5+5) = 2,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,5 + 2 = 4,5 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·5/(5+5) = 4,5 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 4,5/(4,5 + 2) = 0,6923 A

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: V_th = 106,9 V

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·30/(2+30) = 1,875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,875 + 15 = 16,88 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 22,5 + 5·1,875 = 31,88 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 31,88 + 5·15 = 106,9 V

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: ∠G(jω) = −103,7 °

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Dodaj kąty

∠G = atan(3/7) − 90° − atan(3/4) = 23,2° − 90° − 36,87°

Wynik

∠G(j3) = −103,7°

Odpowiedź

∠G(jω) = −103,7°

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: ω₁₈₀ = 5,477 rad/s

Częstotliwość odcięcia fazy

(ω/3)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·10) = 5,477 rad/s

Odpowiedź

ω₁₈₀ = 5,477 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Moduł i argument w

Postać algebraiczna

Odpowiedź

Moduł pierwiastków

Argument pierwiastka

Postać algebraiczna

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Kąt fazowy

Odpowiedź

Rezonans

Odpowiedź

Prąd

Moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna istniejącego odbiornika

Największa łączna moc czynna

Dodatkowa moc czynna

Odpowiedź

Składnik z pierwiastkiem

Dolna częstotliwość połowy mocy

Odpowiedź

Częstotliwość rezonansowa

Pasmo przenoszenia

Dobroć

Odpowiedź

Moc pozorna

Moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Pojemność na fazę

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Zgromadzona energia

Odpowiedź

Wymagana stała czasowa

Pojemność

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Dodaj kąty

Wynik

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia fazy

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego