Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Zapisz z = −4 + j9 w postaci wykładniczej r·e^jθ. Podaj θ w radianach, między −π a π.

z = −4 + j9

θ = rad

2.Liczby zespoloneTrudny

Pierwiastki zⁿ = w z n = 2 i w = 4∠60° to z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1. Znajdź część urojoną z₀.

w = 4∠60°n = 2k = 0

Im(z₀) =

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

φ = °

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 22 µF

V_C = V

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Odbiornik indukcyjny pobiera 15,5 A i 1783 W z jednofazowego zasilania 230 V (skuteczne). Zamodeluj go jako rezystancję R połączoną szeregowo z reaktancją X. Wyznacz R.

V = 230 VI = 15,5 AP = 1783 W

R = Ω

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 24 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 60 Hz. Równolegle do odbiornika podłączono kondensator 220 µF. Wyznacz nowy współczynnik mocy cos φ widziany przez zasilanie.

P = 24 kWpf₁ = 0,65V = 240 Vf = 60 HzC = 220 µF

cos φ =

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

W idealnym obwodzie LC z L = 10 µH i C = 100 nF kondensator jest w pełni naładowany w chwili t = 0. Ile czasu mija, zanim cała energia znajdzie się w cewce? Podaj t w µs.

L = 10 µHC = 100 nF

t = µs

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Częstotliwości połowy mocy krzywej rezonansowej wynoszą 100 kHz i 250 kHz. Wyznacz częstotliwość rezonansową jako ich średnią geometryczną, a następnie dobroć Q.

f₁ = 100 kHzf₂ = 250 kHz

Q =

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik połączony w trójkąt o impedancji 5 + j12 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 480 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 480 VZ = 5 + j12 Ω na fazę

P = kW

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 250 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 250 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 2 ms.

V_s = 9 VR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 5 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 1000 ms.

V_s = 20 VR = 10 kΩC = 47 µFv_C(0) = 5 Vt = 1000 ms

v_C = V

13.Thévenin i NortonŚredni

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 4 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia I_L.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

14.Thévenin i NortonTrudny

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 6 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia I_L.

V₁ = 10 VI_s = 2,5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

Znajdź dokładny moduł |G(jω)| G(s) = 864/((s + 8)(s + 9)) przy ω = 1 rad/s, w dB.

G(s) = 864/((s + 8)(s + 9))ω = 1 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 40/(s(s + 4)). Znajdź częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c, przy której |L(jω)| = 1.

L(s) = 40/(s(s + 4))

ω_c = rad/s

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: θ = 1,989 rad

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Moduł

r = √(16 + 81) = 9,849

Argument w radianach

θ = 114° = 114·π/180 = 1,989 rad

Postać wykładnicza

z = 9,849·e^j1,989

Odpowiedź

θ = 1,989 rad

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: Im(z₀) = 1

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Moduł pierwiastków

4^1/2 = 2

Argument pierwiastka

θ₀ = (60° + 360°·0)/2 = 30°

Postać algebraiczna

z₀ = 2·(cos 30° + j sin 30°) = 1,732 + j1

Im(z₀) = 1

Odpowiedź

Im(z₀) = 1

Pierwiastki (2) leżą na okręgu o promieniu 2, w odstępach 180°.

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 86,01 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (717,7)²) = 719,4 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(717,7/50) = 86,01°

Odpowiedź

φ = 86,01°

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 3,595 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−11,04)²) = 100,6 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 10/100,6 = 0,0994 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,0994·36,17 = 3,595 V

Odpowiedź

V_C = 3,595 V

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: R = 7,421 Ω

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Rezystancja z mocy czynnej

R = P/I² = 1783/15,5² = 7,421 Ω

Odpowiedź

R = 7,421 Ω

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: cos φ = 0,7178

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = 24·tan(arccos 0,65) = 28,06 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·220·10⁻⁶ = 4777 var = 4,777 kvar

Q₂ = 28,06 − 4,777 = 23,28 kvar

Nowa moc pozorna

S₂ = √(24² + 23,28²) = 33,44 kVA

Nowy współczynnik mocy

cos φ = P/S₂ = 24/33,44 = 0,7178

Odpowiedź

cos φ = 0,7178

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: t = 1,571 µs

Rezonans LC: naładowany kondensator połączony z cewką wymusza prąd, który ładuje go w przeciwną stronę: energia przepływa między polem elektrycznym C (½Cv²) a polem magnetycznym L (½Li²) z częstotliwością drgań własnych f₀ = 1/(2π√(LC)). Bez rezystancji całkowita energia ½CV₀² jest stała, więc prąd szczytowy wynosi I_max = V₀√(C/L). Jeden okres to T = 1/f₀; energia przechodzi z C do L w ciągu jego ćwierci.

Okres

T = 2π√(1 × 10⁻⁵·1 × 10⁻⁷) = 6,283 µs

Ćwierć okresu

t = T/4 = 1,571 µs

Odpowiedź

t = 1,571 µs

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: Q = 1,054

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = √(100000·250000) = 158114 Hz

Pasmo przenoszenia

BW = 250000 − 100000 = 150000 Hz

Dobroć

Q = 158114/150000 = 1,054

Odpowiedź

Q = 1,054

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 20,45 kW

Napięcie fazowe

V_ph = V_L = 480 V

Prąd fazowy

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I_ph = 480/13 = 36,92 A

Całkowita moc czynna

Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.

P = 3·I_ph²·R = 3·36,92²·5 = 20,45 kW

Odpowiedź

P = 20,45 kW

Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,3846, a √3·V_L·I_L·cos φ daje tę samą moc.

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Q_C = 241,5 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0,65) = 250·1,169 = 292,3 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 241,5 kvar

Odpowiedź

Q_C = 241,5 kvar

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,3013 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1,5 ms

i(∞) = V_s/R = 9/22 = 0,4091 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,4091·(1 − e^−2/1,5) = 0,3013 A

Odpowiedź

i = 0,3013 A

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 18,21 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms

v_C(t) = 20 + (5 − 20)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(1000) = 20 + (−15)·e^−1000/470 = 18,21 V

Odpowiedź

v_C = 18,21 V

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_L = 0,8333 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·3/(2+3) = 1,2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,2 + 2 = 3,2 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·3/(2+3) = 6 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 6/(3,2 + 4) = 0,8333 A

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_L = 1,759 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·3/(3+3) = 1,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,5 + 6 = 7,5 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5 + 2,5·1,5 = 8,75 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 8,75 + 2,5·6 = 23,75 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 23,75/(7,5 + 6) = 1,759 A

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: |G(jω)| = 21,46 dB

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Pomnóż moduły

|G(j1)| = 864/(√(1² + 8²)·√(1² + 9²)) = 864/(8,062·9,055) = 11,83

Wynik

20·log₁₀(11,83) = 21,46 dB

Odpowiedź

|G(jω)| = 21,46 dB

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: ω_c = 5,726 rad/s

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

ω⁴ + 16ω² − 1600 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·1600))/2 = 32,79

ω_c = 5,726 rad/s

Odpowiedź

ω_c = 5,726 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Moduł

Argument w radianach

Postać wykładnicza

Odpowiedź

Moduł pierwiastków

Argument pierwiastka

Postać algebraiczna

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Kąt fazowy

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Prąd

Napięcie na kondensatorze

Odpowiedź

Rezystancja z mocy czynnej

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Nowa moc pozorna

Nowy współczynnik mocy

Odpowiedź

Okres

Ćwierć okresu

Odpowiedź

Częstotliwość rezonansowa

Pasmo przenoszenia

Dobroć

Odpowiedź

Napięcie fazowe

Prąd fazowy

Całkowita moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Prąd w danej chwili

Odpowiedź

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie w danej chwili

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Pomnóż moduły

Wynik

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego