Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Impedancja i wskazy AC
Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z
Metoda
Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.
Moc AC i współczynnik mocy
Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Częstotliwość drgań własnych
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energia
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy
Imax = V0√(C/L)
Dobroć
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Częstotliwości połowy mocy
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy
e−Rt/(2L)
Metoda
Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.
Moc w układach trójfazowych
Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η
Stany nieustalone RC i RL
Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ
Metoda
Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Liczby zespoloneŚredni
Rysunek przedstawia z = −3 − j2. Przy w = 0,5∠90° kliknij punkt, który przedstawia z/w.
z = −3 − j2w = 0,5∠90°
1A (−4 + j6)
2B (−6 − j4)
3C (−2 + j3)
4D (4 − j6)
2.Liczby zespoloneTrudny
Użyj wzoru de Moivre’a, aby znaleźć część rzeczywistą z⁴ dla z = −2 − j2.
z = −2 − j2n = 4
Re(z⁴) =
3.Impedancja i wskazy ACŚredni
Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.
V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF
cos φ =
4.Impedancja i wskazy ACTrudny
Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f0 obwodu.
V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF
f0 = Hz
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
Odbiornik indukcyjny pobiera 9,5 A i 1710 W z jednofazowego zasilania 240 V (skuteczne). Zamodeluj go jako rezystancję R połączoną szeregowo z reaktancją X. Wyznacz R.
V = 240 VI = 9,5 AP = 1710 W
R = Ω
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
Odbiornik jednofazowy pobiera 45 kW przy współczynniku mocy 0,6 (indukcyjnym) z zasilania 230 V, 50 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,92. Wyznacz nowy prąd linii Inew.
P = 45 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,92V = 230 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni
Szeregowy obwód RLC rezonuje przy 2 kHz z Q = 3. Wyznacz dokładnie dolną częstotliwość połowy mocy f1 w kHz.
f0 = 2 kHzQ = 3
f1 = kHz
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny
Zaprojektuj szeregowy filtr RLC o całkowitej rezystancji 10 Ω, częstotliwości rezonansowej 100 kHz i szerokości pasma 2,5 kHz. Wyznacz pojemność C w nF.
R = 10 Ωf0 = 100 kHzBW = 2,5 kHz
C = nF
9.Moc w układach trójfazowychŚredni
Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 20 A ze źródła o napięciu przewodowym 415 V. Współczynnik mocy wynosi 0,8 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.
VL = 415 VIL = 20 Acos φ = 0,8
P = kW
10.Moc w układach trójfazowychTrudny
Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 250 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 415 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.
P = 250 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.Stany nieustalone RC i RLŚredni
Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie vL na cewce w chwili t = 1 ms.
Vs = 20 VR = 33 ΩL = 47 mHt = 1 ms
vL = V
12.Stany nieustalone RC i RLTrudny
Łącznik równoległy do R2 był długo otwarty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się zamyka i zwiera R2. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 25 ms.
Vs = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 22 ΩL = 220 mHt = 25 ms
i = A
13.Thévenin i NortonŚredni
Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.
V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
14.Thévenin i NortonTrudny
Między a–b podłączono obciążenie RL = 25 Ω. Użyj układu zastępczego Thévenina, aby wyznaczyć moc PL dostarczaną do obciążenia.
Filtr górnoprzepustowy RC pokazany na rysunku ma R = 47 kΩ, C = 10 nF. Podano sinusoidalne wejście 68 Hz. Znajdź wzmocnienie |H| = |vout/vin| w dB.
R = 47 kΩC = 10 nFf = 68 Hz
|H| = dB
16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny
Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 108/(s(s + 8)). Znajdź zapas fazy PM w stopniach.
L(s) = 108/(s(s + 8))
PM = °
3Roztwory
1.Liczby zespolone
Odpowiedź: A (−4 + j6)
Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.
Działanie w
|z/w| = |z|/0,5, arg(z/w) = arg z − 90°
Punkt
z/w = −4 + j6 → A
Odpowiedź
A (−4 + j6)
2.Liczby zespolone
Odpowiedź: Re(z⁴) = −64
Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.
Postać biegunowa
z = −2 − j2 = 2√2∠−135°
Wzór de Moivre’a
z⁴ = (2√2)⁴∠−540° = 64∠180°
Postać algebraiczna
z⁴ = 64·(cos 180° + j sin 180°) = −64
Re(z⁴) = −64
Odpowiedź
Re(z⁴) = −64
3.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: cos φ = 0,1671
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Reaktancje
XL = 125,7 Ω, XC = 361,7 Ω
Impedancja
|Z| = √(40² + (−236,1)²) = 239,4 Ω
Współczynnik mocy
cos φ = R/|Z| = 40/239,4 = 0,1671
Obwód jest pojemnościowy, więc współczynnik mocy ma charakter pojemnościowy.
Odpowiedź
cos φ = 0,1671
4.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: f0 = 73,41 Hz
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Rezonans
W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Rezystancja z mocy czynnej
R = P/I² = 1710/9,5² = 18,95 Ω
Odpowiedź
R = 18,95 Ω
6.Moc AC i współczynnik mocy
Odpowiedź: Inew = 212,7 A
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Moc bierna przed i po
Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.
Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(53,13°) = 60 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(23,07°) = 19,17 kvar
QC = Q1 − Q2 = 40,83 kvar
Nowy prąd linii
Inew = P/(V·cos φ2) = 45000/(230·0,92) = 212,7 A
Odpowiedź
Inew = 212,7 A
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: f1 = 1,694 kHz
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Składnik z pierwiastkiem
√(1 + 1/(4·3²)) = 1,014
Dolna częstotliwość połowy mocy
f1 = 2000·(1,014 − 0,1667) = 1694 Hz = 1,694 kHz
Odpowiedź
f1 = 1,694 kHz
Górna wynosi f₂ = 2,361 kHz; sprawdzenie: f₂ − f₁ = 666,7 Hz = f₀/Q.
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: C = 3,979 nF
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Indukcyjność z szerokości pasma
L = R/(2π·BW) = 10/(2π·2500) = 0,0006366 H
Pojemność z częstotliwości rezonansowej
C = 1/((2π·100000)²·0,0006366) = 3,979 × 10⁻⁹ F = 3,979 nF
Odpowiedź
C = 3,979 nF
Q = f₀/BW = 40.
9.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: P = 11,5 kW
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Moc pozorna
S = √3·VL·IL = √3·415·20 = 14,38 kVA
Moc czynna
P = S·cos φ = 14,38·0,8 = 11,5 kW
Odpowiedź
P = 11,5 kW
10.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: Cph = 2637 µF
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.
Moc bierna przed i po
Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,65) = 250·1,169 = 292,3 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar
Moc bierna z kondensatorów
QC = Q1 − Q2 = 171,2 kvar
Pojemność na fazę
W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Stała czasowa i prąd końcowy
Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.
τ = L/R = 47 mH / 33 Ω = 1,424 ms
i(∞) = Vs/R = 20/33 = 0,6061 A
Napięcie na cewce
W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 20·e−1/1,424 = 9,911 V
Odpowiedź
vL = 9,911 V
12.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: i = 0,7014 A
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa
Przed t = 0 w obwodzie są oba rezystory; potem zamknięty łącznik bocznikuje R₂.
i(0) = 9/(10 + 22) = 0,2813 A
i(∞) = 9/10 = 0,9 A
τ = L/R = 220/10 = 22 ms
i(t) = 0,9 + (0,2813 − 0,9)·e−t/τ
Prąd w danej chwili
i(25) = 0,9 + (−0,6188)·e−25/22 = 0,7014 A
Odpowiedź
i = 0,7014 A
13.Thévenin i Norton
Odpowiedź: Vth = 8,571 V
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,429 + 4 = 7,429 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·8/(6+8) = 8,571 V
14.Thévenin i Norton
Odpowiedź: PL = 178,6 W
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,615 + 12 = 16,62 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 11,54 + 6·4,615 = 39,23 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 39,23 + 6·12 = 111,2 V
Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina
Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.
IL = Vth/(Rth + RL) = 111,2/(16,62 + 25) = 2,673 A
PL = IL²·RL = 2,673²·25 = 178,6 W
15.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: |H| = −14,12 dB
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.
Częstotliwość graniczna
ωc = 1/(RC) = 1/(47000·1 × 10⁻⁸) = 2128 rad/s
fc = 338,6 Hz → f/fc = 68/338,6 = 0,2008
Wzmocnienie
|H| = 0,2008/√(1 + 0,2008²) = 0,1969
20·log₁₀(0,1969) = −14,12 dB
Odpowiedź
|H| = −14,12 dB
16.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: PM = 41,7 °
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.