Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Dane są z₁ = 5∠30° i z₂ = 0,5∠−25°. Znajdź argument θ liczby w = z₁/z₂ w stopniach, między −180° a 180°.

z₁ = 5∠30°z₂ = 0,5∠−25°

θ = °

2.Liczby zespoloneTrudny

Użyj wzoru de Moivre’a, aby znaleźć część rzeczywistą z⁸ dla z = 1 − j√3.

z = 1 − j√3n = 8

Re(z⁸) =

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz moc czynną P pobieraną z zasilania.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 22 µF

P = W

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

I = A

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Odbiornik o impedancji Z = 9 + j12 Ω jest podłączony do jednofazowego zasilania 120 V (skuteczne). Wyznacz moc pozorną S.

V = 120 VZ = 9 + j12 Ω

S = VA

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Transformator jednofazowy 10 kVA zasila odbiornik 6 kW przy współczynniku mocy 0,85 (indukcyjnym). Ile dodatkowej mocy czynnej ΔP można dołączyć jako odbiornik rezystancyjny (współczynnik mocy równy 1), zanim transformator osiągnie swoją moc znamionową w kVA?

S_max = 10 kVAP₁ = 6 kWpf₁ = 0,85

ΔP = kW

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

Kondensator 1 nF naładowany do 9 V drga z idealną cewką 470 µH. Wyznacz energię W_L zgromadzoną w cewce w chwili, gdy napięcie na kondensatorze wynosi 7,2 V, w nJ.

C = 1 nFV₀ = 9 Vv_C = 7,2 V

W_L = nJ

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Równoległy obwód rezonansowy składa się z kondensatora 220 nF i cewki 47 µH o rezystancji uzwojenia 2 Ω. W rezonansie zachowuje się jak rezystor o rezystancji dynamicznej R_D = L/(C·r). Wyznacz R_D w kΩ.

L = 47 µHC = 220 nFr = 2 Ω

R_D = kΩ

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 150 A ze źródła o napięciu przewodowym 415 V. Współczynnik mocy wynosi 0,75 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 415 VI_L = 150 Acos φ = 0,75

P = kW

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 200 kW przy współczynniku mocy 0,78 (indukcyjnym) z sieci 415 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 200 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 80% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 6 VR = 68 ΩL = 22 mH

t = ms

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 8 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 9,2 V? Wyznacz t.

V_s = 10 VR = 6,8 kΩC = 220 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

13.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz napięcie Thévenina V_th widziane z zacisków a–b.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

14.Thévenin i NortonTrudny

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 2 Ω. Użyj układu zastępczego Thévenina, aby wyznaczyć moc P_L dostarczaną do obciążenia.

V₁ = 36 VI_s = 4 AR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 2 Ω

P_L = W

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

W pokazanym szeregowym filtrze środkowoprzepustowym RLC wyjście jest brane na R = 20 Ω, przy L = 5 mH i C = 4,7 µF. Znajdź szerokość pasma −3 dB BW w Hz.

R = 20 ΩL = 5 mHC = 4,7 µF

BW = Hz

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 192/(s(s + 8)). Znajdź zapas fazy PM w stopniach.

L(s) = 192/(s(s + 8))

PM = °

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: θ = 55 °

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Moduł i argument w

|w| = 5 / 0,5 = 10

θ = 30° − (−25)° = 55°

Argument

θ = 55°

Odpowiedź

θ = 55°

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: Re(z⁸) = −128

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Postać biegunowa

z = 1 − j√3 = 2∠−60°

Wzór de Moivre’a

z⁸ = (2)⁸∠−480° = 256∠−120°

Postać algebraiczna

z⁸ = 256·(cos −120° + j sin −120°) = −128 − j221,7

Re(z⁸) = −128

Odpowiedź

Re(z⁸) = −128

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: P = 47,77 W

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 18,85 Ω, X_C = 120,6 Ω

Impedancja

|Z| = √(80² + (−101,7)²) = 129,4 Ω

Moc czynna

Cewki i kondensatory tylko gromadzą i oddają energię; całą moc czynną pobiera rezystor.

I = 100/129,4 = 0,7727 A

P = I²·R = 0,7727²·80 = 47,77 W

Odpowiedź

P = 47,77 W

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,5684 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (403,5)²) = 404,6 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 230/404,6 = 0,5684 A

Odpowiedź

I = 0,5684 A

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: S = 960 VA

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω

I = V/|Z| = 120/15 = 8 A

Moc pozorna

S = V·I = 120·8 = 960 VA

Odpowiedź

S = 960 VA

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: ΔP = 3,283 kW

Moc bierna istniejącego odbiornika

Q₁ = 6·tan(arccos 0,85) = 3,718 kvar

Największa łączna moc czynna

Przy pełnym obciążeniu znamionowym S = S_max, a odbiornik rezystancyjny nie zmienia Q.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(10² − 3,718²) = 9,283 kW

Dodatkowa moc czynna

ΔP = 9,283 − 6 = 3,283 kW

Odpowiedź

ΔP = 3,283 kW

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: W_L = 14,58 nJ

Rezonans LC: naładowany kondensator połączony z cewką wymusza prąd, który ładuje go w przeciwną stronę: energia przepływa między polem elektrycznym C (½Cv²) a polem magnetycznym L (½Li²) z częstotliwością drgań własnych f₀ = 1/(2π√(LC)). Bez rezystancji całkowita energia ½CV₀² jest stała, więc prąd szczytowy wynosi I_max = V₀√(C/L). Jeden okres to T = 1/f₀; energia przechodzi z C do L w ciągu jego ćwierci.

Energia całkowita

½·1 × 10⁻⁹·9² = 4,05 × 10⁻⁸ J

Energia pozostała w kondensatorze

½·1 × 10⁻⁹·7,2² = 2,592 × 10⁻⁸ J

Energia w cewce

W_L = 1,458 × 10⁻⁸ J = 14,58 nJ

Odpowiedź

W_L = 14,58 nJ

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: R_D = 0,1068 kΩ

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Rezystancja dynamiczna

R_D = 4,7 × 10⁻⁵/(2,2 × 10⁻⁷·2) = 106,8 Ω = 0,1068 kΩ

Sprawdzenie za pomocą Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 7,308, Q²·r = 106,8 Ω

Odpowiedź

R_D = 0,1068 kΩ

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 80,87 kW

Moc pozorna

S = √3·V_L·I_L = √3·415·150 = 107,8 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 107,8·0,75 = 80,87 kW

Odpowiedź

P = 80,87 kW

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Q_C = 63,59 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,78) = 200·0,8023 = 160,5 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 63,59 kvar

Odpowiedź

Q_C = 63,59 kvar

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 0,5207 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

i(∞) = V_s/R = 6/68 = 0,08824 A

Wyznacz czas

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −0,3235·ln(0,2) = 0,5207 ms

Odpowiedź

t = 0,5207 ms

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 1371 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 220 µF = 1496 ms

v_C(t) = 10 + (8 − 10)·e^−t/τ

Wyznacz czas

9,2 = 10 + (−2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9,2 − 10)/(8 − 10) = 0,4

t = τ·ln((8 − 10)/(9,2 − 10)) = 1496·ln(2,5) = 1371 ms

Odpowiedź

t = 1371 ms

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: V_th = 15 V

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·6/(6+6) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 6 = 9 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·6/(6+6) = 15 V

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: P_L = 45,35 W

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·4/(6+4) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 4 = 6,4 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 14,4 + 4·2,4 = 24 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 24 + 4·4 = 40 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 40/(6,4 + 2) = 4,762 A

P_L = I_L²·R_L = 4,762²·2 = 45,35 W

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: BW = 636,6 Hz

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Częstotliwość rezonansowa

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·4,7 × 10⁻⁶) = 6523 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 1038 Hz

Pasmo przenoszenia

BW = R/L = 20/0,005 = 4000 rad/s = 636,6 Hz

Odpowiedź

BW = 636,6 Hz

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: PM = 32,1 °

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

ω⁴ + 64ω² − 36864 = 0

ω² = (−64 + √(4096 + 4·36864))/2 = 162,6

ω_c = 12,75 rad/s

Zapas fazy

∠L(jω_c) = −90° − atan(12,75/8) = −147,9°

PM = 180° + ∠L = 32,1°

Odpowiedź

PM = 32,1°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Moduł i argument w

Argument

Odpowiedź

Postać biegunowa

Wzór de Moivre’a

Postać algebraiczna

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Moc czynna

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Prąd

Odpowiedź

Prąd

Moc pozorna

Odpowiedź

Moc bierna istniejącego odbiornika

Największa łączna moc czynna

Dodatkowa moc czynna

Odpowiedź

Energia całkowita

Energia pozostała w kondensatorze

Energia w cewce

Odpowiedź

Rezystancja dynamiczna

Sprawdzenie za pomocą Q

Odpowiedź

Moc pozorna

Moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Wyznacz czas

Odpowiedź

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Wyznacz czas

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Częstotliwość rezonansowa

Pasmo przenoszenia

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

Zapas fazy

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego