Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Impedancja i wskazy AC
Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z
Metoda
Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.
Moc AC i współczynnik mocy
Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Częstotliwość drgań własnych
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energia
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy
Imax = V0√(C/L)
Dobroć
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Częstotliwości połowy mocy
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy
e−Rt/(2L)
Metoda
Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.
Moc w układach trójfazowych
Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η
Stany nieustalone RC i RL
Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ
Metoda
Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Liczby zespoloneŚredni
Zapisz z = 5∠−75° w postaci algebraicznej a + jb i podaj część urojoną b.
r = 5θ = −75°
b =
2.Liczby zespoloneTrudny
Rozwiąż z² − 6z + 15,25 = 0. Pierwiastki to a ± jb; znajdź b > 0.
p = −6q = 15,25
b =
3.Impedancja i wskazy ACŚredni
Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).
V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 1 µF
φ = °
4.Impedancja i wskazy ACTrudny
Rezystor R1 jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R2 i kondensatora C i podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.
V = 120 V (rms)f = 60 HzR1 = 30 ΩR2 = 80 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
Odbiornik indukcyjny pobiera 13 A i 2340 W z jednofazowego zasilania 240 V (skuteczne). Zamodeluj go jako rezystancję R połączoną szeregowo z reaktancją X. Wyznacz R.
V = 240 VI = 13 AP = 2340 W
R = Ω
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
Źródło 10 V (skuteczne), 50 Hz ma impedancję wewnętrzną Zs = 20 + j3 Ω. Impedancję obciążenia ZL można dobrać dowolnie. Obciążenie zapewniające maksymalną moc składa się z rezystora połączonego szeregowo z kondensatorem. Wyznacz pojemność C.
Vs = 10 V (rms)f = 50 HzZs = 20 + j3 Ω
C = µF
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni
Równoległy obwód RLC ma R = 10 kΩ, L = 1 mH i C = 100 pF. Wyznacz jego dobroć Q.
R = 10 kΩL = 1 mHC = 100 pF
Q =
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny
Szeregowy obwód rezonansowy używa cewki 1 mH. Jaka całkowita rezystancja szeregowa R daje szerokość pasma 20 kHz?
L = 1 mHBW = 20 kHz
R = Ω
9.Moc w układach trójfazowychŚredni
Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 120 A ze źródła o napięciu przewodowym 690 V. Współczynnik mocy wynosi 0,95 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.
VL = 690 VIL = 120 Acos φ = 0,95
P = kW
10.Moc w układach trójfazowychTrudny
Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 100 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 400 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną QC, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.
P = 100 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.Stany nieustalone RC i RLŚredni
Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 90% wartości końcowej? Wyznacz t.
Vs = 6 VR = 10 ΩL = 47 mH
t = ms
12.Stany nieustalone RC i RLTrudny
Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 200 ms.
Vs = 6 VR1 = 4,7 kΩR2 = 10 kΩC = 68 µFt = 200 ms
vC = V
13.Thévenin i NortonŚredni
Wyznacz prąd Nortona IN: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.
V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
14.Thévenin i NortonTrudny
Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.
V1 = 15 VIs = 0,5 AR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni
Filtr górnoprzepustowy RL pokazany na rysunku ma R = 220 Ω, L = 22 mH. Podano sinusoidalne wejście 320 Hz. Znajdź przesunięcie fazowe φ vout względem vin, w stopniach.
R = 220 ΩL = 22 mHf = 320 Hz
φ = °
16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny
Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = K/(s(s + 2)(s + 3)). Znajdź wzmocnienie K, które daje zapas wzmocnienia 15 dB.
L(s) = K/(s(s + 2)(s + 3))GM = 15 dB
K =
3Roztwory
1.Liczby zespolone
Odpowiedź: b = −4,83
Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.
Składowe
a = 5·cos(−75°) = 1,294
b = 5·sin(−75°) = −4,83
Postać algebraiczna
z = 1,294 − j4,83
b = −4,83
Odpowiedź
b = −4,83
2.Liczby zespolone
Odpowiedź: b = 2,5
Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.
Wyróżnik
p² − 4q = 36 − 61 = −25 < 0
Wzór na pierwiastki równania kwadratowego
z = (6 ± j√25)/2 = 3 + j2,5, 3 − j2,5
Odpowiedź
b = 2,5
Odpowiedź
b = 2,5
3.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: φ = −81,51 °
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Reaktancje
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·1·10⁻⁶) = 795,8 Ω
Impedancja
Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(XL − XC).
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Reaktancja
XC = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω
Połączenie równoległe
Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Zp na część rzeczywistą i urojoną.
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Rezystancja z mocy czynnej
R = P/I² = 2340/13² = 13,85 Ω
Odpowiedź
R = 13,85 Ω
6.Moc AC i współczynnik mocy
Odpowiedź: C = 1061 µF
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Dopasowanie sprzężone
Reaktancja obciążenia znosi reaktancję źródła, a rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.
ZL = Zs* = 20 − j3 Ω
Pojemność
XC = 3 Ω → C = 1/(2π·50·3) = 1061 µF
Odpowiedź
C = 1061 µF
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: Q = 3,162
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Częstotliwość rezonansowa
ω₀ = 1/√(LC) = 3,162 × 10⁶ rad/s
Dobroć
Q = R/(ω₀L) = 10000/(3,162 × 10⁶·0,001) = 3,162
Odpowiedź
Q = 3,162
Szerokość pasma wynosi 1/(2πRC) = 159,2 kHz.
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: R = 125,7 Ω
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Szerokość pasma obwodu szeregowego
BW = R/(2πL)
Rezystancja
R = 2π·0,001·20000 = 125,7 Ω
Odpowiedź
R = 125,7 Ω
9.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: P = 136,2 kW
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Moc pozorna
S = √3·VL·IL = √3·690·120 = 143,4 kVA
Moc czynna
P = S·cos φ = 143,4·0,95 = 136,2 kW
Odpowiedź
P = 136,2 kW
10.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: QC = 96,61 kvar
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.
Moc bierna przed i po
Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,65) = 100·1,169 = 116,9 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar
Moc bierna z kondensatorów
QC = Q1 − Q2 = 96,61 kvar
Odpowiedź
QC = 96,61 kvar
11.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: t = 10,82 ms
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Stała czasowa i prąd końcowy
Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.
τ = L/R = 47 mH / 10 Ω = 4,7 ms
i(∞) = Vs/R = 6/10 = 0,6 A
Wyznacz czas
0,9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)
t = −4,7·ln(0,1) = 10,82 ms
Odpowiedź
t = 10,82 ms
12.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: vC = 3,042 V
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Początkowe napięcie kondensatora
W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.
vC(0) = 6·10/(4,7 + 10) = 4,082 V
Stała czasowa po otwarciu łącznika
τ = R2·C = 10·68 = 680 ms
Rozładowanie
vC(t) = 4,082·e−200/680 = 3,042 V
Odpowiedź
vC = 3,042 V
13.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IN = 0,3 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 20·10/(20+10) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 10 = 16,67 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·10/(20+10) = 5 V
Układ zastępczy Nortona
Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.
IN = Vth/Rth = 5/16,67 = 0,3 A
14.Thévenin i Norton
Odpowiedź: Vth = 2,786 V
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 15·20/(15+20) = 8,571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,571 + 3 = 11,57 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8,571 + (−0,5)·8,571 = 4,286 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 4,286 + (−0,5)·3 = 2,786 V
15.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: φ = 78,63 °
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.
Częstotliwość graniczna
ωc = R/L = 220/0,022 = 10000 rad/s
fc = 1592 Hz → f/fc = 320/1592 = 0,2011
Faza
φ = 90° − atan(0,2011) = 78,63°
Odpowiedź
φ = 78,63°
16.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: K = 5,335
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.