Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Impedancja i wskazy AC
Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z
Metoda
Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.
Moc AC i współczynnik mocy
Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Częstotliwość drgań własnych
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energia
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy
Imax = V0√(C/L)
Dobroć
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Częstotliwości połowy mocy
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy
e−Rt/(2L)
Metoda
Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.
Moc w układach trójfazowych
Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η
Stany nieustalone RC i RL
Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ
Metoda
Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Liczby zespoloneŚredni
Dane są z₁ = 3∠150° i z₂ = 2∠65°. Znajdź część rzeczywistą liczby w = z₁·z₂.
z₁ = 3∠150°z₂ = 2∠65°
Re(w) =
2.Liczby zespoloneTrudny
Pierwiastki zⁿ = w z n = 3 i w = 8∠−60° to zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Znajdź część rzeczywistą z₁.
w = 8∠−60°n = 3k = 1
Re(z₁) =
3.Impedancja i wskazy ACŚredni
Rezystor i kondensator są połączone równolegle i podłączone do zasilania 24 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.
V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
4.Impedancja i wskazy ACTrudny
Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f0 obwodu.
V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µF
f0 = Hz
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
Silnik jednofazowy pobiera 24 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 240 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.
P = 24 kWpf = 0,65V = 240 V
Q = kvar
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
Transformator jednofazowy 75 kVA zasila odbiornik 44 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym). Ile dodatkowej mocy czynnej ΔP można dołączyć jako odbiornik rezystancyjny (współczynnik mocy równy 1), zanim transformator osiągnie swoją moc znamionową w kVA?
Smax = 75 kVAP1 = 44 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni
Szeregowy obwód RLC rezonuje przy 10 kHz z Q = 4. Wyznacz dokładnie dolną częstotliwość połowy mocy f1 w kHz.
f0 = 10 kHzQ = 4
f1 = kHz
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny
Częstotliwości połowy mocy krzywej rezonansowej wynoszą 1 kHz i 1,05 kHz. Wyznacz częstotliwość rezonansową jako ich średnią geometryczną, a następnie dobroć Q.
f1 = 1 kHzf2 = 1,05 kHz
Q =
9.Moc w układach trójfazowychŚredni
Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 60 A ze źródła o napięciu przewodowym 400 V. Współczynnik mocy wynosi 0,88 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.
VL = 400 VIL = 60 Acos φ = 0,88
P = kW
10.Moc w układach trójfazowychTrudny
Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 75 kW przy współczynniku mocy 0,78 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.
P = 75 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.Stany nieustalone RC i RLŚredni
Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 40 ms.
Vs = 9 VR1 = 2,2 kΩR2 = 3,3 kΩC = 33 µFt = 40 ms
vC = V
12.Stany nieustalone RC i RLTrudny
Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 15 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie vC osiągnie 13 V? Wyznacz t.
Vs = 10 VR = 3,3 kΩC = 22 µFvC(0) = 15 V
t = ms
13.Thévenin i NortonŚredni
Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.
V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
14.Thévenin i NortonTrudny
Między a–b podłączono obciążenie RL = 2 Ω. Użyj układu zastępczego Thévenina, aby wyznaczyć moc PL dostarczaną do obciążenia.
V1 = 5 VIs = 3 AR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩRL = 2 Ω
PL = W
15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni
Filtr górnoprzepustowy RL pokazany na rysunku ma R = 220 Ω, L = 22 mH. Podano sinusoidalne wejście 320 Hz. Znajdź wzmocnienie |H| = |vout/vin| w dB.
R = 220 ΩL = 22 mHf = 320 Hz
|H| = dB
16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny
Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 50/(s(s + 2)(s + 7)). Znajdź częstotliwość odcięcia fazy ω180, przy której ∠L(jω) = −180°.
L(s) = 50/(s(s + 2)(s + 7))
ω180 = rad/s
3Roztwory
1.Liczby zespolone
Odpowiedź: Re(w) = −4,915
Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.
Moduł i argument w
|w| = 3 · 2 = 6
θ = 150° + 65° = 215° → −145°
Postać algebraiczna
Re(w) = 6·cos(−145°) = −4,915
Im(w) = 6·sin(−145°) = −3,441
Re(w) = −4,915
Odpowiedź
Re(w) = −4,915
2.Liczby zespolone
Odpowiedź: Re(z₁) = −0,3473
Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.
Moduł pierwiastków
81/3 = 2
Argument pierwiastka
θ₁ = (−60° + 360°·1)/3 = 100°
Postać algebraiczna
z₁ = 2·(cos 100° + j sin 100°) = −0,3473 + j1,97
Re(z₁) = −0,3473
Odpowiedź
Re(z₁) = −0,3473
Pierwiastki (3) leżą na okręgu o promieniu 2, w odstępach 120°.
3.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: |Z| = 16,93 Ω
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Reaktancja
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω
Prądy gałęzi
Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.
IR = V/R = 24/20 = 1,2 A
IX = V/XC = 24/31,83 = 0,754 A
Prąd całkowity
Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.
I = √(IR² + IX²) = √(1,2² + 0,754²) = 1,417 A
Impedancja
|Z| = V/I = 24/1,417 = 16,93 Ω
Odpowiedź
|Z| = 16,93 Ω
4.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: f0 = 151,7 Hz
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Rezonans
W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Kąt
φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169
Moc bierna
Q = P·tan φ = 24·1,169 = 28,06 kvar
Odpowiedź
Q = 28,06 kvar
6.Moc AC i współczynnik mocy
Odpowiedź: ΔP = 20,18 kW
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Moc bierna istniejącego odbiornika
Q1 = 44·tan(arccos 0,75) = 38,8 kvar
Największa łączna moc czynna
Przy pełnym obciążeniu znamionowym S = Smax, a odbiornik rezystancyjny nie zmienia Q.
P = √(Smax² − Q1²) = √(75² − 38,8²) = 64,18 kW
Dodatkowa moc czynna
ΔP = 64,18 − 44 = 20,18 kW
Odpowiedź
ΔP = 20,18 kW
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: f1 = 8,828 kHz
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Składnik z pierwiastkiem
√(1 + 1/(4·4²)) = 1,008
Dolna częstotliwość połowy mocy
f1 = 10000·(1,008 − 0,125) = 8828 Hz = 8,828 kHz
Odpowiedź
f1 = 8,828 kHz
Górna wynosi f₂ = 11,33 kHz; sprawdzenie: f₂ − f₁ = 2,5 kHz = f₀/Q.
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: Q = 20,49
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Częstotliwość rezonansowa
f0 = √(1000·1050) = 1025 Hz
Pasmo przenoszenia
BW = 1050 − 1000 = 50 Hz
Dobroć
Q = 1025/50 = 20,49
Odpowiedź
Q = 20,49
9.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: P = 36,58 kW
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Moc pozorna
S = √3·VL·IL = √3·400·60 = 41,57 kVA
Moc czynna
P = S·cos φ = 41,57·0,88 = 36,58 kW
Odpowiedź
P = 36,58 kW
10.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: Cph = 52,41 µF
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.
Moc bierna przed i po
Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,78) = 75·0,8023 = 60,17 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar
Moc bierna z kondensatorów
QC = Q1 − Q2 = 28,22 kvar
Pojemność na fazę
W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.
V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 9407/(377·690²) = 52,41 µF
Odpowiedź
Cph = 52,41 µF
11.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: vC = 3,244 V
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator
Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć Rth; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.
Rth = R1 ∥ R2 = 2,2·3,3/(2,2 + 3,3) = 1,32 kΩ
vC(∞) = 9·3,3/(2,2 + 3,3) = 5,4 V
Stała czasowa
τ = Rth·C = 1,32·33 = 43,56 ms
Krzywa ładowania
vC(t) = 5,4·(1 − e−40/43,56) = 3,244 V
Odpowiedź
vC = 3,244 V
12.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: t = 37,09 ms
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa
Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.
t = τ·ln((15 − 10)/(13 − 10)) = 72,6·ln(1,667) = 37,09 ms
Odpowiedź
t = 37,09 ms
13.Thévenin i Norton
Odpowiedź: Vth = 14,4 V
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 5·20/(5+20) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 4 = 8 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·20/(5+20) = 14,4 V
14.Thévenin i Norton
Odpowiedź: PL = 16,85 W
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 3·8/(3+8) = 2,182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,182 + 20 = 22,18 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,636 + 3·2,182 = 10,18 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 10,18 + 3·20 = 70,18 V
Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina
Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.
IL = Vth/(Rth + RL) = 70,18/(22,18 + 2) = 2,902 A
PL = IL²·RL = 2,902²·2 = 16,85 W
15.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: |H| = −14,11 dB
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.
Częstotliwość graniczna
ωc = R/L = 220/0,022 = 10000 rad/s
fc = 1592 Hz → f/fc = 320/1592 = 0,2011
Wzmocnienie
|H| = 0,2011/√(1 + 0,2011²) = 0,1971
20·log₁₀(0,1971) = −14,11 dB
Odpowiedź
|H| = −14,11 dB
16.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: ω180 = 3,742 rad/s
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.