Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Rysunek przedstawia z = 3 + j. Przy w = 0,5∠90° kliknij punkt, który przedstawia z/w.

z = 3 + jw = 0,5∠90°

1A (−2 + j6)
2B (6 + j2)
3C (1 − j3)
4D (2 − j6)

2.Liczby zespoloneTrudny

Pierwiastki zⁿ = w z n = 2 i w = 36∠−120° to z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1. Znajdź argument z₁ w stopniach, między −180° a 180°.

w = 36∠−120°n = 2k = 1

θ₁ = °

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z L = 10 mH ma być w rezonansie przy 500 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f₀ = 500 HzL = 10 mH

C = µF

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 47 µF

V_C = V

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 28 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z zasilania 230 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 28 kWpf = 0,7V = 230 V

Q = kvar

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 50 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z zasilania 230 V, 60 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,98. Wyznacz potrzebną pojemność C.

P = 50 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,98V = 230 Vf = 60 Hz

C = µF

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

Równoległy obwód RLC ma R = 47 kΩ, L = 100 mH i C = 2,2 nF. Wyznacz jego dobroć Q.

R = 47 kΩL = 100 mHC = 2,2 nF

Q =

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Szeregowy obwód RLC (R = 1 Ω, L = 1 mH, C = 22 nF) jest zasilany w rezonansie prądem o amplitudzie 50 mA. Wyznacz energię E_cycle rozpraszaną w R w ciągu jednego cyklu, w nJ.

R = 1 ΩL = 1 mHC = 22 nFI_m = 50 mA

E_cycle = nJ

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 75 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 93%, a współczynnik mocy 0,9 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 480 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 75 kWη = 93%cos φ = 0,9V_L = 480 V

I_L = A

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 150 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 150 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 1 ms, w mJ.

V_s = 6 VR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

W = mJ

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 9 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 7,2 V, dokładnie 100 ms po starcie. Przy C = 1 µF wyznacz potrzebną rezystancję R.

V_s = 9 VV_th = 7,2 VT = 100 msC = 1 µF

R = kΩ

13.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz rezystancję Thévenina R_th widzianą z zacisków a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 Ω

R_th = Ω

14.Thévenin i NortonTrudny

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 2 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia I_L.

V₁ = 5 VI_s = 2,5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

W pokazanym szeregowym filtrze środkowoprzepustowym RLC wyjście jest brane na R = 5 Ω, przy L = 5 mH i C = 1 µF. Znajdź szerokość pasma −3 dB BW w Hz.

R = 5 ΩL = 5 mHC = 1 µF

BW = Hz

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 31,2/(s(s + 8)). Znajdź zapas fazy PM w stopniach.

L(s) = 31,2/(s(s + 8))

PM = °

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: D (2 − j6)

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Działanie w

|z/w| = |z|/0,5, arg(z/w) = arg z − 90°

Punkt

z/w = 2 − j6 → D

Odpowiedź

D (2 − j6)

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: θ₁ = 120 °

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Moduł pierwiastków

36^1/2 = 6

Argument pierwiastka

θ₁ = (−120° + 360°·1)/2 = 120°

Argument

θ₁ = 120°

Odpowiedź

θ₁ = 120°

Pierwiastki (2) leżą na okręgu o promieniu 6, w odstępach 180°.

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 10,13 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,01) = 10,13 µF

Odpowiedź

C = 10,13 µF

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 2,693 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (123,2)²) = 125,7 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 10/125,7 = 0,07954 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,07954·33,86 = 2,693 V

Odpowiedź

V_C = 2,693 V

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 28,57 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Moc bierna

Q = P·tan φ = 28·1,02 = 28,57 kvar

Odpowiedź

Q = 28,57 kvar

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: C = 2049 µF

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(45,57°) = 51,01 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(11,48°) = 10,15 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 40,86 kvar

Pojemność

Kondensator dołączony do zasilania dostarcza Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 40857/(2π·60·230²) = 2049 µF

Odpowiedź

C = 2049 µF

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: Q = 6,971

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Częstotliwość rezonansowa

ω₀ = 1/√(LC) = 67420 rad/s

Dobroć

Q = R/(ω₀L) = 47000/(67420·0,1) = 6,971

Odpowiedź

Q = 6,971

Szerokość pasma wynosi 1/(2πRC) = 1,539 kHz.

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: E_cycle = 36,84 nJ

Zgromadzona energia

W = ½·0,001·0,05² = 1,25 × 10⁻⁶ J

Dobroć

Q = (1/1)·√(0,001/2,2 × 10⁻⁸) = 213,2

Energia tracona w jednym cyklu

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·1,25 × 10⁻⁶/213,2 = 3,684 × 10⁻⁸ J = 36,84 nJ

sprawdzenie: ½·0,05²·1/33932 = 3,684 × 10⁻⁸ J

Odpowiedź

E_cycle = 36,84 nJ

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 107,8 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 75/0,93 = 80,65 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 80645/(√3·480·0,9) = 107,8 A

Odpowiedź

I_L = 107,8 A

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Q_C = 80,68 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,72) = 150·0,9639 = 144,6 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 80,68 kvar

Odpowiedź

Q_C = 80,68 kvar

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 0,153 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 6/47 = 0,1277 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 0,1277·(1 − e^−1/1) = 0,0807 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·47·0,0807² = 0,153 mJ

Odpowiedź

W = 0,153 mJ

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: R = 62,13 kΩ

Wymagana stała czasowa

7,2 = 9·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(9/(9 − 7,2))

τ = 100/1,609 = 62,13 ms

Rezystancja

kΩ razy µF daje milisekundy.

R = τ/C = 62,13/1 = 62,13 kΩ

Odpowiedź

R = 62,13 kΩ

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: R_th = 17,4 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·4/(6+4) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 15 = 17,4 Ω

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_L = 2,411 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·25/(6+25) = 4,839 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,839 + 4 = 8,839 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,032 + 2,5·4,839 = 16,13 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 16,13 + 2,5·4 = 26,13 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 26,13/(8,839 + 2) = 2,411 A

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: BW = 159,2 Hz

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Częstotliwość rezonansowa

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·1 × 10⁻⁶) = 14142 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 2251 Hz

Pasmo przenoszenia

BW = R/L = 5/0,005 = 1000 rad/s = 159,2 Hz

Odpowiedź

BW = 159,2 Hz

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: PM = 65,99 °

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

ω⁴ + 64ω² − 973,4 = 0

ω² = (−64 + √(4096 + 4·973,4))/2 = 12,69

ω_c = 3,563 rad/s

Zapas fazy

∠L(jω_c) = −90° − atan(3,563/8) = −114°

PM = 180° + ∠L = 65,99°

Odpowiedź

PM = 65,99°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Działanie w

Punkt

Odpowiedź

Moduł pierwiastków

Argument pierwiastka

Argument

Odpowiedź

Warunek rezonansu

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Prąd

Napięcie na kondensatorze

Odpowiedź

Kąt

Moc bierna

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Pojemność

Odpowiedź

Częstotliwość rezonansowa

Dobroć

Odpowiedź

Zgromadzona energia

Dobroć

Energia tracona w jednym cyklu

Odpowiedź

Elektryczna moc wejściowa

Prąd linii

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Prąd w danej chwili

Zgromadzona energia

Odpowiedź

Wymagana stała czasowa

Rezystancja

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Częstotliwość rezonansowa

Pasmo przenoszenia

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

Zapas fazy

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego