Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Liczba z = 4·e^−j2,5 ma kąt w radianach. Znajdź jej część urojoną b.

r = 4θ = −2,5 rad

b =

2.Liczby zespoloneTrudny

Pierwiastki zⁿ = w z n = 3 i w = 27∠120° to z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Znajdź argument z₁ w stopniach, między −180° a 180°.

w = 27∠120°n = 3k = 1

θ₁ = °

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

φ = °

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

V_C = V

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Odbiornik o impedancji Z = 3 + j4 Ω jest podłączony do jednofazowego zasilania 230 V (skuteczne). Wyznacz pobieraną przez niego moc czynną P.

V = 230 VZ = 3 + j4 Ω

P = W

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Transformator jednofazowy 150 kVA zasila odbiornik 55 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym). Ile dodatkowej mocy czynnej ΔP można dołączyć jako odbiornik rezystancyjny (współczynnik mocy równy 1), zanim transformator osiągnie swoją moc znamionową w kVA?

S_max = 150 kVAP₁ = 55 kWpf₁ = 0,65

ΔP = kW

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

W idealnym obwodzie LC z L = 10 mH i C = 470 pF kondensator jest w pełni naładowany w chwili t = 0. Ile czasu mija, zanim cała energia znajdzie się w cewce? Podaj t w µs.

L = 10 mHC = 470 pF

t = µs

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Szeregowy obwód RLC (R = 2 Ω, L = 22 mH, C = 220 nF) jest zasilany w rezonansie prądem o amplitudzie 20 mA. Wyznacz energię E_cycle rozpraszaną w R w ciągu jednego cyklu, w nJ.

R = 2 ΩL = 22 mHC = 220 nFI_m = 20 mA

E_cycle = nJ

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 120 A ze źródła o napięciu przewodowym 480 V. Współczynnik mocy wynosi 0,7 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 480 VI_L = 120 Acos φ = 0,7

P = kW

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 50 kW przy współczynniku mocy 0,78 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,95 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 99% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 33 mH

t = ms

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 5 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 12,5 V? Wyznacz t.

V_s = 20 VR = 10 kΩC = 220 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

13.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

14.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 30 VI_s = 3 AR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

Filtr dolnoprzepustowy RC pokazany na rysunku ma R = 2,2 kΩ, C = 22 nF. Podano sinusoidalne wejście 660 Hz. Znajdź przesunięcie fazowe φ v_out względem v_in, w stopniach.

R = 2,2 kΩC = 22 nFf = 660 Hz

φ = °

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 8/(s(s + 4)). Znajdź częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c, przy której |L(jω)| = 1.

L(s) = 8/(s(s + 4))

ω_c = rad/s

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: b = −2,394

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Wzór Eulera

z = 4·(cos −2,5 + j sin −2,5)

Składowe (radiany)

a = 4·cos −2,5 = −3,205

b = 4·sin −2,5 = −2,394

b = −2,394

Odpowiedź

b = −2,394

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: θ₁ = 160 °

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Moduł pierwiastków

27^1/3 = 3

Argument pierwiastka

θ₁ = (120° + 360°·1)/3 = 160°

Argument

θ₁ = 160°

Odpowiedź

θ₁ = 160°

Pierwiastki (3) leżą na okręgu o promieniu 3, w odstępach 120°.

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 61,42 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (91,8)²) = 104,5 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(91,8/50) = 61,42°

Odpowiedź

φ = 61,42°

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 169,3 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−236,1)²) = 256,4 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 120/256,4 = 0,4681 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,4681·361,7 = 169,3 V

Odpowiedź

V_C = 169,3 V

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: P = 6348 W

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω

I = V/|Z| = 230/5 = 46 A

Moc czynna

P = I²·R = 46²·3 = 6348 W

Odpowiedź

P = 6348 W

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: ΔP = 80,52 kW

Moc bierna istniejącego odbiornika

Q₁ = 55·tan(arccos 0,65) = 64,3 kvar

Największa łączna moc czynna

Przy pełnym obciążeniu znamionowym S = S_max, a odbiornik rezystancyjny nie zmienia Q.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 64,3²) = 135,5 kW

Dodatkowa moc czynna

ΔP = 135,5 − 55 = 80,52 kW

Odpowiedź

ΔP = 80,52 kW

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: t = 3,405 µs

Rezonans LC: naładowany kondensator połączony z cewką wymusza prąd, który ładuje go w przeciwną stronę: energia przepływa między polem elektrycznym C (½Cv²) a polem magnetycznym L (½Li²) z częstotliwością drgań własnych f₀ = 1/(2π√(LC)). Bez rezystancji całkowita energia ½CV₀² jest stała, więc prąd szczytowy wynosi I_max = V₀√(C/L). Jeden okres to T = 1/f₀; energia przechodzi z C do L w ciągu jego ćwierci.

Okres

T = 2π√(0,01·4,7 × 10⁻¹⁰) = 13,62 µs

Ćwierć okresu

t = T/4 = 3,405 µs

Odpowiedź

t = 3,405 µs

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: E_cycle = 174,8 nJ

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Zgromadzona energia

W = ½·0,022·0,02² = 4,4 × 10⁻⁶ J

Dobroć

Q = (1/2)·√(0,022/2,2 × 10⁻⁷) = 158,1

Energia tracona w jednym cyklu

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·4,4 × 10⁻⁶/158,1 = 1,748 × 10⁻⁷ J = 174,8 nJ

sprawdzenie: ½·0,02²·2/2288 = 1,748 × 10⁻⁷ J

Odpowiedź

E_cycle = 174,8 nJ

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 69,84 kW

Moc pozorna

S = √3·V_L·I_L = √3·480·120 = 99,77 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 99,77·0,7 = 69,84 kW

Odpowiedź

P = 69,84 kW

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 43,98 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,78) = 50·0,8023 = 40,11 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 23,68 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 7893/(377·690²) = 43,98 µF

Odpowiedź

C_ph = 43,98 µF

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 4,605 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Wyznacz czas

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −1·ln(0,01) = 4,605 ms

Odpowiedź

t = 4,605 ms

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 1525 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms

v_C(t) = 20 + (5 − 20)·e^−t/τ

Wyznacz czas

12,5 = 20 + (−15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12,5 − 20)/(5 − 20) = 0,5

t = τ·ln((5 − 20)/(12,5 − 20)) = 2200·ln(2) = 1525 ms

Odpowiedź

t = 1525 ms

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = 0,08036 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·3/(20+3) = 2,609 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,609 + 12 = 14,61 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·3/(20+3) = 1,174 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = 1,174/14,61 = 0,08036 A

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = 4,25 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 6 = 12 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 15 + 3·6 = 33 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 33 + 3·6 = 51 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = 51/12 = 4,25 A

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: φ = −11,35 °

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Częstotliwość graniczna

ω_c = 1/(RC) = 1/(2200·2,2 × 10⁻⁸) = 20661 rad/s

f_c = 3288 Hz → f/f_c = 660/3288 = 0,2007

Faza

φ = − atan(0,2007) = −11,35°

Odpowiedź

φ = −11,35°

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: ω_c = 1,82 rad/s

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

ω⁴ + 16ω² − 64 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·64))/2 = 3,314

ω_c = 1,82 rad/s

Odpowiedź

ω_c = 1,82 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Wzór Eulera

Składowe (radiany)

Odpowiedź

Moduł pierwiastków

Argument pierwiastka

Argument

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Kąt fazowy

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Prąd

Napięcie na kondensatorze

Odpowiedź

Prąd

Moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna istniejącego odbiornika

Największa łączna moc czynna

Dodatkowa moc czynna

Odpowiedź

Okres

Ćwierć okresu

Odpowiedź

Zgromadzona energia

Dobroć

Energia tracona w jednym cyklu

Odpowiedź

Moc pozorna

Moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Pojemność na fazę

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Wyznacz czas

Odpowiedź

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Wyznacz czas

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Częstotliwość graniczna

Faza

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego