Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Impedancja i wskazy AC
Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z
Metoda
Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.
Moc AC i współczynnik mocy
Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Częstotliwość drgań własnych
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energia
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy
Imax = V0√(C/L)
Dobroć
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Częstotliwości połowy mocy
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy
e−Rt/(2L)
Metoda
Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.
Moc w układach trójfazowych
Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η
Stany nieustalone RC i RL
Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ
Metoda
Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Liczby zespoloneŚredni
Dane są z₁ = 2,5∠150° i z₂ = 4∠20°. Znajdź część urojoną liczby w = z₁·z₂.
z₁ = 2,5∠150°z₂ = 4∠20°
Im(w) =
2.Liczby zespoloneTrudny
Pierwiastki zⁿ = w z n = 6 i w = 729∠180° to zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 5. Znajdź część rzeczywistą z₅.
w = 729∠180°n = 6k = 5
Re(z₅) =
3.Impedancja i wskazy ACŚredni
Rezystor i kondensator są połączone równolegle i podłączone do zasilania 50 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩC = 47 µF
φ = °
4.Impedancja i wskazy ACTrudny
Szeregowy obwód RLC ma R = 50 Ω, L = 100 mH i C = 0,01 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.
R = 50 ΩL = 100 mHC = 0,01 µF
Q =
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
Silnik jednofazowy pobiera 38 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z zasilania 400 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.
P = 38 kWpf = 0,75V = 400 V
Q = kvar
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
Źródło 100 V (skuteczne), 60 Hz ma impedancję wewnętrzną Zs = 20 + j5 Ω. Impedancję obciążenia ZL można dobrać dowolnie. Obciążenie zapewniające maksymalną moc składa się z rezystora połączonego szeregowo z kondensatorem. Wyznacz pojemność C.
Vs = 100 V (rms)f = 60 HzZs = 20 + j5 Ω
C = µF
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni
Szeregowy obwód RLC ma R = 10 Ω, L = 220 µH i C = 22 nF. Wyznacz jego szerokość pasma BW w kHz.
R = 10 ΩL = 220 µHC = 22 nF
BW = kHz
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny
Naładowany kondensator 1 µF rozładowuje się przez cewkę 2,2 mH o całkowitej rezystancji szeregowej 2 Ω, więc drgania powoli zanikają. Jego amplituda maleje jak e−Rt/(2L). Ile cykli drgań n upływa, zanim amplituda zmaleje o połowę? (Straty są małe, więc częstotliwość to f₀.)
L = 2,2 mHC = 1 µFR = 2 Ω
n =
9.Moc w układach trójfazowychŚredni
Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 75 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 93%, a współczynnik mocy 0,84 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 415 V. Wyznacz prąd przewodowy IL.
Pout = 75 kWη = 93%cos φ = 0,84VL = 415 V
IL = A
10.Moc w układach trójfazowychTrudny
Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 80 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,95 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną QC, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.
P = 80 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,95VL = 690 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.Stany nieustalone RC i RLŚredni
Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie vL na cewce w chwili t = 1 ms.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
vL = V
12.Stany nieustalone RC i RLTrudny
Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 120 ms.
Vs = 15 VR1 = 1 kΩR2 = 2,2 kΩC = 33 µFt = 120 ms
vC = V
13.Thévenin i NortonŚredni
Wyznacz rezystancję Thévenina Rth widzianą z zacisków a–b.
V1 = 18 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 Ω
Rth = Ω
14.Thévenin i NortonTrudny
Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.
V1 = 5 VIs = 3 AR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni
W pokazanym szeregowym filtrze środkowoprzepustowym RLC wyjście jest brane na R = 100 Ω, przy L = 100 mH i C = 1 µF. Znajdź dobroć Q.
R = 100 ΩL = 100 mHC = 1 µF
Q =
16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny
Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 175/(s(s + 5)). Znajdź częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc, przy której |L(jω)| = 1.
L(s) = 175/(s(s + 5))
ωc = rad/s
3Roztwory
1.Liczby zespolone
Odpowiedź: Im(w) = 1,736
Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.
Moduł i argument w
|w| = 2,5 · 4 = 10
θ = 150° + 20° = 170°
Postać algebraiczna
Re(w) = 10·cos(170°) = −9,848
Im(w) = 10·sin(170°) = 1,736
Im(w) = 1,736
Odpowiedź
Im(w) = 1,736
2.Liczby zespolone
Odpowiedź: Re(z₅) = 2,598
Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.
Moduł pierwiastków
7291/6 = 3
Argument pierwiastka
θ₅ = (180° + 360°·5)/6 = 330° → −30°
Postać algebraiczna
z₅ = 3·(cos −30° + j sin −30°) = 2,598 − j1,5
Re(z₅) = 2,598
Odpowiedź
Re(z₅) = 2,598
Pierwiastki (6) leżą na okręgu o promieniu 3, w odstępach 60°.
3.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: φ = −30,57 °
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Reaktancja
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω
Prądy gałęzi
Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.
IR = V/R = 50/20 = 2,5 A
IX = V/XC = 50/33,86 = 1,477 A
Prąd całkowity
Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.
I = √(IR² + IX²) = √(2,5² + 1,477²) = 2,903 A
Kąt fazowy
Prąd kondensatora wyprzedza V, więc prąd całkowity też wyprzedza, a kąt jest ujemny.
φ = −arctan(IX/IR) = −arctan(1,477/2,5) = −30,57°
Odpowiedź
φ = −30,57°
4.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: Q = 63,25
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Częstotliwość rezonansowa
f0 = 1/(2π·√(0,1·0,01·10⁻⁶)) = 5033 Hz
Dobroć
Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Kąt
φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819
Moc bierna
Q = P·tan φ = 38·0,8819 = 33,51 kvar
Odpowiedź
Q = 33,51 kvar
6.Moc AC i współczynnik mocy
Odpowiedź: C = 530,5 µF
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Dopasowanie sprzężone
Reaktancja obciążenia znosi reaktancję źródła, a rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.
ZL = Zs* = 20 − j5 Ω
Pojemność
XC = 5 Ω → C = 1/(2π·60·5) = 530,5 µF
Odpowiedź
C = 530,5 µF
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: BW = 7,234 kHz
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Szerokość pasma w rad/s
R/L = 10/0,00022 = 45455 rad/s
Szerokość pasma w Hz
BW = 45455/(2π) = 7234 Hz = 7,234 kHz
Odpowiedź
BW = 7,234 kHz
Dla f₀ = 72,34 kHz daje to Q = 10.
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: n = 5,174
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Czas połowicznego zaniku amplitudy
t = 2·0,0022·ln 2/2 = 0,001525 s
Liczba cykli
n = t·f0 = 0,001525·3393 = 5,174
Odpowiedź
n = 5,174
Skrót: n = Q·ln 2/π przy Q = 23,45.
9.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: IL = 133,6 A
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Elektryczna moc wejściowa
Pin = Pout/η = 75/0,93 = 80,65 kW
Prąd linii
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 80645/(√3·415·0,84) = 133,6 A
Odpowiedź
IL = 133,6 A
10.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: QC = 44,26 kvar
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.
Moc bierna przed i po
Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0,75) = 80·0,8819 = 70,55 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,95) = 80·0,3287 = 26,29 kvar
Moc bierna z kondensatorów
QC = Q1 − Q2 = 44,26 kvar
Odpowiedź
QC = 44,26 kvar
11.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: vL = 2,876 V
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Stała czasowa i prąd końcowy
Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.
τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Napięcie na cewce
W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−1/1,36 = 2,876 V
Odpowiedź
vL = 2,876 V
12.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: vC = 1,975 V
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Początkowe napięcie kondensatora
W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.
vC(0) = 15·2,2/(1 + 2,2) = 10,31 V
Stała czasowa po otwarciu łącznika
τ = R2·C = 2,2·33 = 72,6 ms
Rozładowanie
vC(t) = 10,31·e−120/72,6 = 1,975 V
Odpowiedź
vC = 1,975 V
13.Thévenin i Norton
Odpowiedź: Rth = 10 Ω
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 20·5/(20+5) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 6 = 10 Ω
14.Thévenin i Norton
Odpowiedź: Vth = 40,53 V
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 15·4/(15+4) = 3,158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,158 + 10 = 13,16 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,053 + 3·3,158 = 10,53 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 10,53 + 3·10 = 40,53 V
15.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: Q = 3,162
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.
Częstotliwość rezonansowa
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·1 × 10⁻⁶) = 3162 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 503,3 Hz
Dobroć
BW = R/L = 100/0,1 = 1000 rad/s = 159,2 Hz
Q = ω₀/BW = 3162/1000 = 3,162
Odpowiedź
Q = 3,162
16.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: ωc = 12,77 rad/s
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.