Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Znajdź argument θ liczby z = 6 − j4 w stopniach, jako wartość główną między −180° a 180°.

z = 6 − j4

θ = °

2.Liczby zespoloneTrudny

Dokładnie jeden z punktów A–D jest pierwiastkiem równania z³ = 8∠−90°. Kliknij go.

w = 8∠−90°n = 3

1A (2∠−30°)
2B (2∠−90°)
3C (3,6∠−30°)
4D (2∠30°)

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 22 µF

φ = °

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 10 µF

I = A

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 35 kW przy współczynniku mocy 0,6 (indukcyjnym) z zasilania 400 V. Wyznacz prąd linii I.

P = 35 kWpf = 0,6V = 400 V

I = A

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 5 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 400 V, 50 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,92. Wyznacz moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć kondensator.

P = 5 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

Szeregowy obwód RLC ma R = 47 Ω, L = 1 mH i C = 4,7 nF. Wyznacz jego dobroć Q.

R = 47 ΩL = 1 mHC = 4,7 nF

Q =

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Równoległy obwód rezonansowy składa się z kondensatora 470 pF i cewki 100 µH o rezystancji uzwojenia 1 Ω. W rezonansie zachowuje się jak rezystor o rezystancji dynamicznej R_D = L/(C·r). Wyznacz R_D w kΩ.

L = 100 µHC = 470 pFr = 1 Ω

R_D = kΩ

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 50 A ze źródła o napięciu przewodowym 400 V. Współczynnik mocy wynosi 0,85 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 400 VI_L = 50 Acos φ = 0,85

P = kW

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 50 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 2 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz napięcie v_R na R w chwili t = 15 ms.

i(0) = 2 AR = 10 ΩL = 68 mHt = 15 ms

v_R = V

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 100 ms.

V_s = 9 VR₁ = 10 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 68 µFt = 100 ms

v_C = V

13.Thévenin i NortonŚredni

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 12 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia I_L.

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

14.Thévenin i NortonTrudny

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 30 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia I_L.

V₁ = 30 VI_s = 2,5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 30 Ω

I_L = A

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

Znajdź fazę ∠G(jω) G(s) = 41(s + 16)/(s(s + 7)) przy ω = 0,5 rad/s, w stopniach.

G(s) = 41(s + 16)/(s(s + 7))ω = 0,5 rad/s

∠G(jω) = °

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 4000/(s(s + 20)). Znajdź zapas fazy PM w stopniach.

L(s) = 4000/(s(s + 20))

PM = °

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: θ = −33,69 °

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Ćwiartka

a = 6, b = −4 → IV

Kąt odniesienia

α = atan(4/6) = 33,69°

Argument

θ = −α = −33,69°

Odpowiedź

θ = −33,69°

W postaci biegunowej z = 7,211∠−33,69°.

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: A (2∠−30°)

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Moduł i argumenty pierwiastków

|z| = 2

θ = −30°, 90°, −150°

Punkt

A = 2∠−30°

Odpowiedź

A (2∠−30°)

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −83,03 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−81,85)²) = 82,46 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−81,85/10) = −83,03°

Odpowiedź

φ = −83,03°

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,1994 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−33,49)²) = 60,18 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 12/60,18 = 0,1994 A

Odpowiedź

I = 0,1994 A

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 145,8 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd linii

Pracę wykonuje tylko moc czynna, więc podziel przez współczynnik mocy.

I = P/(V·cos φ) = 35000/(400·0,6) = 145,8 A

Odpowiedź

I = 145,8 A

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q_C = 3,716 kvar

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(49,46°) = 5,846 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(23,07°) = 2,13 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 3,716 kvar

Odpowiedź

Q_C = 3,716 kvar

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: Q = 9,814

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Impedancja charakterystyczna

√(L/C) = √(0,001/4,7 × 10⁻⁹) = 461,3 Ω

Dobroć

Q = 461,3/47 = 9,814

Odpowiedź

Q = 9,814

Częstotliwość rezonansowa wynosi 73,41 kHz, więc BW = f₀/Q = 7,48 kHz.

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: R_D = 212,8 kΩ

Rezystancja dynamiczna

R_D = 1 × 10⁻⁴/(4,7 × 10⁻¹⁰·1) = 212766 Ω = 212,8 kΩ

Sprawdzenie za pomocą Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 461,3, Q²·r = 212766 Ω

Odpowiedź

R_D = 212,8 kΩ

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 29,44 kW

Moc pozorna

S = √3·V_L·I_L = √3·400·50 = 34,64 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 34,64·0,85 = 29,44 kW

Odpowiedź

P = 29,44 kW

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 371,5 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,72) = 50·0,9639 = 48,19 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 26,89 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 8964/(314,2·277,1²) = 371,5 µF

Odpowiedź

C_ph = 371,5 µF

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_R = 2,203 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6,8 ms

Zanik prądu

i(t) = 2·e^−15/6,8 = 0,2203 A

v_R = R·i = 10·0,2203 = 2,203 V

Odpowiedź

v_R = 2,203 V

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 1,43 V

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

v_C(0) = 9·3,3/(10 + 3,3) = 2,233 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R₂·C = 3,3·68 = 224,4 ms

Rozładowanie

v_C(t) = 2,233·e^−100/224,4 = 1,43 V

Odpowiedź

v_C = 1,43 V

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_L = 0,1253 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·4/(15+4) = 3,158 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,158 + 5 = 8,158 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·4/(15+4) = 2,526 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 2,526/(8,158 + 12) = 0,1253 A

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_L = 1,484 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 30·20/(30+20) = 12 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 12 + 20 = 32 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12 + 2,5·12 = 42 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 42 + 2,5·20 = 92 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 92/(32 + 30) = 1,484 A

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: ∠G(jω) = −92,3 °

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Dodaj kąty

∠G = atan(0,5/16) − 90° − atan(0,5/7) = 1,79° − 90° − 4,086°

Wynik

∠G(j0,5) = −92,3°

Odpowiedź

∠G(jω) = −92,3°

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: PM = 17,96 °

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

ω⁴ + 400ω² − 1,6 × 10⁷ = 0

ω² = (−400 + √(160000 + 4·1,6 × 10⁷))/2 = 3805

ω_c = 61,68 rad/s

Zapas fazy

∠L(jω_c) = −90° − atan(61,68/20) = −162°

PM = 180° + ∠L = 17,96°

Odpowiedź

PM = 17,96°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Ćwiartka

Kąt odniesienia

Argument

Odpowiedź

Moduł i argumenty pierwiastków

Punkt

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Kąt fazowy

Odpowiedź

Reaktancje

Impedancja

Prąd

Odpowiedź

Prąd linii

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Odpowiedź

Impedancja charakterystyczna

Dobroć

Odpowiedź

Rezystancja dynamiczna

Sprawdzenie za pomocą Q

Odpowiedź

Moc pozorna

Moc czynna

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Pojemność na fazę

Odpowiedź

Stała czasowa

Zanik prądu

Odpowiedź

Początkowe napięcie kondensatora

Stała czasowa po otwarciu łącznika

Rozładowanie

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Dodaj kąty

Wynik

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

Zapas fazy

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego