Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Postać algebraiczna: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Moduł i argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Postać biegunowa i wykładnicza: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dzielenie: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Iloczyn i iloraz: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Wzór de Moivre’a: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Pierwiastki n-tego stopnia: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Trójmian kwadratowy z p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metoda

Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Częstotliwość drgań własnych: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energia: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy: I_max = V₀√(C/L)
Dobroć: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Częstotliwości połowy mocy: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy: e^−Rt/(2L)

Metoda

Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Liczby zespoloneŚredni

Dane są z₁ = 1,5∠100° i z₂ = 0,5∠−140°. Znajdź część urojoną liczby w = z₁/z₂.

z₁ = 1,5∠100°z₂ = 0,5∠−140°

Im(w) =

2.Liczby zespoloneTrudny

Rozwiąż z² + 3z + 3,25 = 0. Pierwiastki to a ± jb; znajdź b > 0.

p = 3q = 3,25

b =

3.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z C = 2,2 µF ma być w rezonansie przy 50 Hz. Wyznacz potrzebną indukcyjność L.

f₀ = 50 HzC = 2,2 µF

L = mH

4.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Odbiornik indukcyjny pobiera 15,5 A i 1783 W z jednofazowego zasilania 230 V (skuteczne). Zamodeluj go jako rezystancję R połączoną szeregowo z reaktancją X. Wyznacz R.

V = 230 VI = 15,5 AP = 1783 W

R = Ω

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Źródło 120 V (skuteczne), 1000 Hz ma impedancję wewnętrzną Z_s = 50 + j3 Ω. Impedancję obciążenia Z_L można dobrać dowolnie. Wyznacz maksymalną moc czynną P_max, jaką można dostarczyć do obciążenia.

V_s = 120 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 50 + j3 Ω

P_max = W

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni

Szeregowy obwód RLC ma R = 5 Ω, L = 4,7 mH i C = 220 nF. Wyznacz jego szerokość pasma BW w Hz.

R = 5 ΩL = 4,7 mHC = 220 nF

BW = Hz

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny

Równoległy obwód rezonansowy składa się z kondensatora 4,7 nF i cewki 10 µH o rezystancji uzwojenia 1 Ω. W rezonansie zachowuje się jak rezystor o rezystancji dynamicznej R_D = L/(C·r). Wyznacz R_D w kΩ.

L = 10 µHC = 4,7 nFr = 1 Ω

R_D = kΩ

9.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 22 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 91%, a współczynnik mocy 0,85 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 400 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 22 kWη = 91%cos φ = 0,85V_L = 400 V

I_L = A

10.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 80 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 415 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 80 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 90% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 24 VR = 68 ΩL = 33 mH

t = ms

12.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 25 ms.

V_s = 6 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 10 µFt = 25 ms

v_C = V

13.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz rezystancję Thévenina R_th widzianą z zacisków a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

14.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 10 VI_s = 2 AR₁ = 25 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 Ω

I_N = A

15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni

W pokazanym szeregowym filtrze środkowoprzepustowym RLC wyjście jest brane na R = 10 Ω, przy L = 5 mH i C = 1 µF. Znajdź częstotliwość środkową (rezonansową) f₀ w Hz.

R = 10 ΩL = 5 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny

Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = 152/(s(s + 8)). Znajdź zapas fazy PM w stopniach.

L(s) = 152/(s(s + 8))

PM = °

3Roztwory

1.Liczby zespolone

Odpowiedź: Im(w) = −2,598

Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.

Moduł i argument w

|w| = 1,5 / 0,5 = 3

θ = 100° − (−140)° = 240° → −120°

Postać algebraiczna

Re(w) = 3·cos(−120°) = −1,5

Im(w) = 3·sin(−120°) = −2,598

Im(w) = −2,598

Odpowiedź

Im(w) = −2,598

2.Liczby zespolone

Odpowiedź: b = 1

Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R^1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.

Wyróżnik

p² − 4q = 9 − 13 = −4 < 0

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

z = (−3 ± j√4)/2 = −1,5 + j, −1,5 − j

Odpowiedź

b = 1

Odpowiedź

b = 1

3.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: L = 4606 mH

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314,2 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(314,2²·2,2·10⁻⁶) = 4606 mH

Odpowiedź

L = 4606 mH

4.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 164,2 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·47·10⁻⁶)) = 164,2 Hz

Odpowiedź

f₀ = 164,2 Hz

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: R = 7,421 Ω

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Rezystancja z mocy czynnej

R = P/I² = 1783/15,5² = 7,421 Ω

Odpowiedź

R = 7,421 Ω

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: P_max = 72 W

Dopasowanie sprzężone

Reaktancja obciążenia znosi reaktancję źródła, a rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.

Z_L = Z_s* = 50 − j3 Ω

Moc maksymalna

I = V_s/(2R_s) = 120/100 = 1,2 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 120²/(4·50) = 72 W

Odpowiedź

P_max = 72 W

7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: BW = 169,3 Hz

Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f₁ i f₂ (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f₀ = √(f₁f₂), a f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e^−Rt/(2L).

Szerokość pasma w rad/s

R/L = 5/0,0047 = 1064 rad/s

Szerokość pasma w Hz

BW = 1064/(2π) = 169,3 Hz = 169,3 Hz

Odpowiedź

BW = 169,3 Hz

Dla f₀ = 4,949 kHz daje to Q = 29,23.

8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Odpowiedź: R_D = 2,128 kΩ

Rezystancja dynamiczna

R_D = 1 × 10⁻⁵/(4,7 × 10⁻⁹·1) = 2128 Ω = 2,128 kΩ

Sprawdzenie za pomocą Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 46,13, Q²·r = 2128 Ω

Odpowiedź

R_D = 2,128 kΩ

9.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 41,05 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 22/0,91 = 24,18 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 24176/(√3·400·0,85) = 41,05 A

Odpowiedź

I_L = 41,05 A

10.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 337,5 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0,65) = 80·1,169 = 93,53 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0,9) = 80·0,4843 = 38,75 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 54,78 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 18262/(314,2·415²) = 337,5 µF

Odpowiedź

C_ph = 337,5 µF

11.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 1,117 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 33 mH / 68 Ω = 0,4853 ms

i(∞) = V_s/R = 24/68 = 0,3529 A

Wyznacz czas

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −0,4853·ln(0,1) = 1,117 ms

Odpowiedź

t = 1,117 ms

12.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 0,04477 V

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

v_C(0) = 6·1/(10 + 1) = 0,5455 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R₂·C = 1·10 = 10 ms

Rozładowanie

v_C(t) = 0,5455·e^−25/10 = 0,04477 V

Odpowiedź

v_C = 0,04477 V

13.Thévenin i Norton

Odpowiedź: R_th = 13,45 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,455 + 8 = 13,45 Ω

14.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = 2,065 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 25·6/(25+6) = 4,839 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,839 + 25 = 29,84 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,935 + 2·4,839 = 11,61 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 11,61 + 2·25 = 61,61 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = 61,61/29,84 = 2,065 A

15.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: f₀ = 2251 Hz

Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ω_c = 1/(RC) lub R/L oraz f_c = ω_c/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) i φ = −atan(ω/ω_c). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jω_c). Częstotliwość odcięcia fazy ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.

Częstotliwość rezonansowa

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·1 × 10⁻⁶) = 14142 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 2251 Hz

Odpowiedź

f₀ = 2251 Hz

16.Wykresy Bodego i zapasy

Odpowiedź: PM = 35,77 °

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

ω⁴ + 64ω² − 23104 = 0

ω² = (−64 + √(4096 + 4·23104))/2 = 123,3

ω_c = 11,11 rad/s

Zapas fazy

∠L(jω_c) = −90° − atan(11,11/8) = −144,2°

PM = 180° + ∠L = 35,77°

Odpowiedź

PM = 35,77°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Teoria obwodów 2: obwody prądu przemiennego: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Liczby zespolone

Metoda

Impedancja i wskazy AC

Metoda

Moc AC i współczynnik mocy

Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma

Metoda

Moc w układach trójfazowych

Stany nieustalone RC i RL

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Moduł i argument w

Postać algebraiczna

Odpowiedź

Wyróżnik

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Odpowiedź

Odpowiedź

Warunek rezonansu

Odpowiedź

Rezonans

Odpowiedź

Rezystancja z mocy czynnej

Odpowiedź

Dopasowanie sprzężone

Moc maksymalna

Odpowiedź

Szerokość pasma w rad/s

Szerokość pasma w Hz

Odpowiedź

Rezystancja dynamiczna

Sprawdzenie za pomocą Q

Odpowiedź

Elektryczna moc wejściowa

Prąd linii

Odpowiedź

Moc bierna przed i po

Moc bierna z kondensatorów

Pojemność na fazę

Odpowiedź

Stała czasowa i prąd końcowy

Wyznacz czas

Odpowiedź

Początkowe napięcie kondensatora

Stała czasowa po otwarciu łącznika

Rozładowanie

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Częstotliwość rezonansowa

Odpowiedź

Częstotliwość odcięcia wzmocnienia

Zapas fazy

Odpowiedź

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego