Zdecyduj, która postać pasuje do działania: algebraiczna a + jb do dodawania i odejmowania, biegunowa r∠θ do mnożenia, dzielenia, potęg i pierwiastków.
Wymnażaj z j² = −1; dziel, mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika.
Zamieniaj przez r = √(a² + b²) i θ ze szkicu punktu (sprawdź ćwiartkę), a z powrotem przez a = r cos θ, b = r sin θ.
Dla potęg użyj wzoru de Moivre’a, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; dla zⁿ = R∠φ wypisz wszystkie n pierwiastków R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Impedancja i wskazy AC
Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z
Metoda
Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.
Moc AC i współczynnik mocy
Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Częstotliwość drgań własnych
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energia
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Prąd szczytowy
Imax = V0√(C/L)
Dobroć
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Szeregowy RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Równoległy RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Pasmo przenoszenia
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Częstotliwości połowy mocy
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Obwód rezonansowy z rezystancją cewki r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Zanikanie amplitudy
e−Rt/(2L)
Metoda
Najpierw wyznacz częstotliwość rezonansową: ω₀ = 1/√(LC) i f₀ = ω₀/(2π).
Ustal, czy obwód jest szeregowy, czy równoległy: szeregowy Q = (1/R)√(L/C), równoległy Q = R√(C/L).
Szerokość pasma wyznacz ze wzoru BW = f₀/Q albo skrótów R/(2πL) (szeregowy) i 1/(2πRC) (równoległy).
W zadaniach o energii skorzystaj z tego, że w idealnym obwodzie LC całkowita energia ½CV₀² jest stała i co ćwierć okresu przepływa między C i L.
Moc w układach trójfazowych
Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η
Stany nieustalone RC i RL
Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ
Metoda
Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Liczby zespoloneŚredni
Dane są z₁ = 4∠40° i z₂ = 0,5∠20°. Znajdź część urojoną liczby w = z₁·z₂.
z₁ = 4∠40°z₂ = 0,5∠20°
Im(w) =
2.Liczby zespoloneTrudny
Użyj wzoru de Moivre’a, aby znaleźć część rzeczywistą z⁸ dla z = −2 − j2.
z = −2 − j2n = 8
Re(z⁸) =
3.Impedancja i wskazy ACŚredni
Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.
V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 47 µF
I = A
4.Impedancja i wskazy ACTrudny
Szeregowy obwód RLC ma R = 20 Ω, L = 10 mH i C = 10 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.
R = 20 ΩL = 10 mHC = 10 µF
B = Hz
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
Odbiornik o impedancji Z = 4 + j3 Ω jest podłączony do jednofazowego zasilania 240 V (skuteczne). Wyznacz moc pozorną S.
V = 240 VZ = 4 + j3 Ω
S = VA
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
Odbiornik jednofazowy pobiera 45 kW przy współczynniku mocy 0,6 (indukcyjnym) z zasilania 400 V, 50 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,92. Wyznacz moc bierną QC, którą musi dostarczyć kondensator.
P = 45 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,92V = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaŚredni
Kondensator 100 pF naładowany do 9 V drga z idealną cewką 22 mH. Wyznacz energię WL zgromadzoną w cewce w chwili, gdy napięcie na kondensatorze wynosi 1,8 V, w nJ.
C = 100 pFV0 = 9 VvC = 1,8 V
WL = nJ
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasmaTrudny
Szeregowy obwód RLC (R = 2 Ω, L = 2,2 mH, C = 10 nF) jest zasilany w rezonansie prądem o amplitudzie 50 mA. Wyznacz energię Ecycle rozpraszaną w R w ciągu jednego cyklu, w nJ.
R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 10 nFIm = 50 mA
Ecycle = nJ
9.Moc w układach trójfazowychŚredni
Symetryczny odbiornik połączony w trójkąt o impedancji 8 + j6 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 480 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.
VL = 480 VZ = 8 + j6 Ω na fazę
P = kW
10.Moc w układach trójfazowychTrudny
Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 50 kW przy współczynniku mocy 0,78 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.
P = 50 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.Stany nieustalone RC i RLŚredni
Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 50 ms.
Vs = 6 VR1 = 1 kΩR2 = 3,3 kΩC = 47 µFt = 50 ms
vC = V
12.Stany nieustalone RC i RLTrudny
W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 15 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 12 V, dokładnie 250 ms po starcie. Przy C = 100 µF wyznacz potrzebną rezystancję R.
Vs = 15 VVth = 12 VT = 250 msC = 100 µF
R = kΩ
13.Thévenin i NortonŚredni
Wyznacz prąd Nortona IN: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.
V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 Ω
IN = A
14.Thévenin i NortonTrudny
Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.
V1 = 18 VIs = 2,5 AR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V
15.Wykresy Bodego i zapasyŚredni
Filtr górnoprzepustowy RL pokazany na rysunku ma R = 22 Ω, L = 4,7 mH. Podano sinusoidalne wejście 2,2 kHz. Znajdź przesunięcie fazowe φ vout względem vin, w stopniach.
R = 22 ΩL = 4,7 mHf = 2,2 kHz
φ = °
16.Wykresy Bodego i zapasyTrudny
Pętla ze sprzężeniem jednostkowym ma transmitancję układu otwartego L(s) = K/(s(s + 5)(s + 7)). Znajdź wzmocnienie K, które daje zapas wzmocnienia 2 dB.
L(s) = K/(s(s + 5)(s + 7))GM = 2 dB
K =
3Roztwory
1.Liczby zespolone
Odpowiedź: Im(w) = 1,732
Postać biegunowa: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, gdzie r = |z| i θ = arg z. Powrót do postaci algebraicznej: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument wymaga ustalenia ćwiartki: θ = atan(b/a) tylko dla a > 0; dla a < 0 dodaj lub odejmij 180°. W postaci biegunowej mnożenie jest łatwe: pomnóż moduły i dodaj argumenty; przy dzieleniu podziel moduły i odejmij argumenty.
Moduł i argument w
|w| = 4 · 0,5 = 2
θ = 40° + 20° = 60°
Postać algebraiczna
Re(w) = 2·cos(60°) = 1
Im(w) = 2·sin(60°) = 1,732
Im(w) = 1,732
Odpowiedź
Im(w) = 1,732
2.Liczby zespolone
Odpowiedź: Re(z⁸) = 4096
Wzór de Moivre’a i pierwiastki: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Równanie zⁿ = R∠φ ma dokładnie n pierwiastków, wszystkie o module R1/n, o argumentach (φ + 360°·k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1: leżą równomiernie na okręgu, co 360°/n. Równanie kwadratowe z² + pz + q = 0 z p² < 4q ma pierwiastki zespolone z = −p/2 ± j√(q − p²/4); wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone zawsze w parach sprzężonych a ± jb.
Postać biegunowa
z = −2 − j2 = 2√2∠−135°
Wzór de Moivre’a
z⁸ = (2√2)⁸∠−1080° = 4096∠0°
Postać algebraiczna
z⁸ = 4096·(cos 0° + j sin 0°) = 4096
Re(z⁸) = 4096
Odpowiedź
Re(z⁸) = 4096
3.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: I = 0,2129 A
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Reaktancje
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω
Impedancja
Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(XL − XC).
Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.
I = V/|Z| = 10/46,98 = 0,2129 A
Odpowiedź
I = 0,2129 A
4.Impedancja i wskazy AC
Odpowiedź: B = 318,3 Hz
Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.
Częstotliwość rezonansowa
f0 = 1/(2π·√(0,01·10·10⁻⁶)) = 503,3 Hz
Dobroć
Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Prąd
|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω
I = V/|Z| = 240/5 = 48 A
Moc pozorna
S = V·I = 240·48 = 11520 VA
Odpowiedź
S = 11520 VA
6.Moc AC i współczynnik mocy
Odpowiedź: QC = 40,83 kvar
Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.
Moc bierna przed i po
Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.
Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(53,13°) = 60 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(23,07°) = 19,17 kvar
QC = Q1 − Q2 = 40,83 kvar
Odpowiedź
QC = 40,83 kvar
7.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: WL = 3,888 nJ
Rezonans LC: naładowany kondensator połączony z cewką wymusza prąd, który ładuje go w przeciwną stronę: energia przepływa między polem elektrycznym C (½Cv²) a polem magnetycznym L (½Li²) z częstotliwością drgań własnych f0 = 1/(2π√(LC)). Bez rezystancji całkowita energia ½CV0² jest stała, więc prąd szczytowy wynosi Imax = V0√(C/L). Jeden okres to T = 1/f0; energia przechodzi z C do L w ciągu jego ćwierci.
Energia całkowita
½·1 × 10⁻¹⁰·9² = 4,05 × 10⁻⁹ J
Energia pozostała w kondensatorze
½·1 × 10⁻¹⁰·1,8² = 1,62 × 10⁻¹⁰ J
Energia w cewce
WL = 3,888 × 10⁻⁹ J = 3,888 nJ
Odpowiedź
WL = 3,888 nJ
8.Rezonans LC, dobroć i szerokość pasma
Odpowiedź: Ecycle = 73,68 nJ
Dobroć i szerokość pasma: w obwodzie rezonansowym Q = 2π·(energia zgromadzona)/(energia tracona w jednym cyklu). Dla szeregowego RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); dla równoległego RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy f1 i f2 (gdzie moc jest o połowę mniejsza, a prąd lub napięcie wynosi 1/√2 wartości szczytowej) to BW = f2 − f1 = f0/Q, czyli R/(2πL) w obwodzie szeregowym i 1/(2πRC) w równoległym. Częstotliwość rezonansowa jest średnią geometryczną f0 = √(f1f2), a f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Straty powodują też zanikanie drgań: w szeregowym RLC amplituda maleje jak e−Rt/(2L).
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Napięcie fazowe
Vph = VL = 480 V
Prąd fazowy
|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
Iph = 480/10 = 48 A
Całkowita moc czynna
Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.
P = 3·Iph²·R = 3·48²·8 = 55,3 kW
Odpowiedź
P = 55,3 kW
Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,8, a √3·VL·IL·cos φ daje tę samą moc.
10.Moc w układach trójfazowych
Odpowiedź: Cph = 216,6 µF
Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.
Moc bierna przed i po
Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,78) = 50·0,8023 = 40,11 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar
Moc bierna z kondensatorów
QC = Q1 − Q2 = 18,81 kvar
Pojemność na fazę
W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator
Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć Rth; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.
Rth = R1 ∥ R2 = 1·3,3/(1 + 3,3) = 0,7674 kΩ
vC(∞) = 6·3,3/(1 + 3,3) = 4,605 V
Stała czasowa
τ = Rth·C = 0,7674·47 = 36,07 ms
Krzywa ładowania
vC(t) = 4,605·(1 − e−50/36,07) = 3,453 V
Odpowiedź
vC = 3,453 V
12.Stany nieustalone RC i RL
Odpowiedź: R = 1,553 kΩ
Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.
Wymagana stała czasowa
12 = 15·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 12))
τ = 250/1,609 = 155,3 ms
Rezystancja
kΩ razy µF daje milisekundy.
R = τ/C = 155,3/100 = 1,553 kΩ
Odpowiedź
R = 1,553 kΩ
13.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IN = 0,9184 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,765 + 4 = 5,765 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·15/(2+15) = 5,294 V
Układ zastępczy Nortona
Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.
IN = Vth/Rth = 5,294/5,765 = 0,9184 A
14.Thévenin i Norton
Odpowiedź: Vth = −25,68 V
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 2·20/(2+20) = 1,818 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,818 + 15 = 16,82 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 16,36 + (−2,5)·1,818 = 11,82 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,82 + (−2,5)·15 = −25,68 V
15.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: φ = 18,71 °
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.
Częstotliwość graniczna
ωc = R/L = 22/0,0047 = 4681 rad/s
fc = 745 Hz → f/fc = 2200/745 = 2,953
Faza
φ = 90° − atan(2,953) = 18,71°
Odpowiedź
φ = 18,71°
16.Wykresy Bodego i zapasy
Odpowiedź: K = 333,6
Charakterystyka częstotliwościowa: podstaw s = jω w transmitancji. Moduł w decybelach to 20·log₁₀|H(jω)|, a faza to suma kątów czynników licznika minus kąty czynników mianownika. Filtr RC lub RL pierwszego rzędu ma częstotliwość graniczną (−3 dB) ωc = 1/(RC) lub R/L oraz fc = ωc/(2π); filtr dolnoprzepustowy daje |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) i φ = −atan(ω/ωc). Na asymptotycznym (łamanym) wykresie Bodego każdy biegun zagina moduł w dół o 20 dB/dekadę przy swojej częstotliwości granicznej, każde zero zagina go w górę o 20 dB/dekadę, a integrator 1/s daje −20 dB/dekadę przy wszystkich częstotliwościach. Częstotliwość odcięcia wzmocnienia ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); zapas fazy PM = 180° + ∠L(jωc). Częstotliwość odcięcia fazy ω180: ∠L(jω) = −180°; zapas wzmocnienia GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Układ zamknięty jest stabilny, gdy oba zapasy są dodatnie.