Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 20 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Ustaw bity tak, aby zapisywały −112 w 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch. Jaka jest wartość wzorca U odczytanego jako liczba bez znaku?
Ustaw bity na 8-bitowy wynik działania 0110 1100 >> 3. Jaka jest wartość wyniku R w zapisie dziesiętnym?
Która formuła jest logicznie równoważna b → c? Kliknij ją.
Które zdanie jest równoważne ¬∃x ∀y R(x, y), gdy negację przesunięto całkiem do środka? Kliknij je.
Użyj mapy Karnaugha, aby znaleźć minimalną postać iloczynu sum (POS) funkcji F(A, B, C) = Σm(1, 3, 4, 5). Ile sum (czynników) N ona ma?
Znajdź minimalną postać SOP funkcji F(A, B, C, D) = Σm(0, 6, 7, 8, 9, 15) + d(1, 10, 11), gdzie d oznacza stany nieokreślone. Ile literałów L zawiera?
Znajdź najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą x, dla której x ≡ 4 (mod 7) i x ≡ 0 (mod 10).
Klucz RSA używa p = 11, q = 31 i e = 13. Odszyfruj szyfrogram c = 180: znajdź wiadomość m.
Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = T(n − 1) + O(1)?
Która definicja klasy P jest poprawna?
Bufor cykliczny (ring buffer) jest powszechnie używany do implementacji:
Które operacje w O(log n) obsługuje drzewo Fenwicka (binary indexed tree) zbudowane nad tablicą n liczb?
Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K4? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.
Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.
Kolumna zawiera wartości 10, 20 i NULL. Co zwraca AVG(col)?
Dlaczego SELECT dept, name, COUNT(*) FROM emp GROUP BY dept jest niepoprawne w standardowym SQL?
Ile czasu zajmuje wprowadzenie 1500-bajtowego pakietu do łącza 12 Mbit/s (opóźnienie transmisji)?
Jaka jest maksymalna jednostka transmisji (MTU) dla ładunku standardowego Ethernetu?
Sieć 192.168.10.0/24 trzeba podzielić na co najmniej 10 równych podsieci. Jeśli pożyczysz jak najmniej bitów, ile użytecznych hostów H będzie miała każda podsieć?
Host ma adres 10.20.92.231/28. Jaki jest czwarty oktet x jego adresu sieci?
Odpowiedź: U = 144
Ustawianie bitów: każdy bit ma wartość będącą potęgą dwójki (128, 64, …, 1). Jedna cyfra szesnastkowa to dokładnie cztery bity, a w 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch skrajny lewy bit ma wartość −128. Operacje bitowe działają osobno na każdej pozycji bitu.
Odpowiedź: R = 13
Ustawianie bitów: każdy bit ma wartość będącą potęgą dwójki (128, 64, …, 1). Jedna cyfra szesnastkowa to dokładnie cztery bity, a w 8-bitowym kodzie uzupełnień do dwóch skrajny lewy bit ma wartość −128. Operacje bitowe działają osobno na każdej pozycji bitu.
Przesunięcie w prawo o 3 przesuwa każdy bit o 3 pozycji w prawo; bity, które wypadną z prawego końca, są tracone, a z lewej wchodzą zera.
Odpowiedź: ¬c → ¬b
Równoważność logiczna: dwie formuły są równoważne (≡), gdy mają tę samą wartość w każdym wierszu tablicy prawdy. Tautologia jest równa 1 w każdym wierszu, kontradykcja 0 w każdym wierszu, a formuła kontyngentna nie jest ani jednym, ani drugim. Przydatne prawa: prawa de Morgana, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b oraz ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozycja); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; oraz prawa rozdzielności, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Kolumny po kresce to opcje w pokazanej kolejności.
Odpowiedź: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Kwantyfikatory i wnioskowania: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) oraz ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Przesuń negację do środka, zamień każdy kwantyfikator, który mija, i zaneguj formułę wewnętrzną prawami rachunku zdań, takimi jak ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Wnioskowanie jest poprawne, gdy wniosek jest równy 1 w każdym wierszu, w którym wszystkie przesłanki są równe 1. Pojedynczy wiersz z prawdziwymi przesłankami i fałszywym wnioskiem jest kontrprzykładem i pokazuje, że wnioskowanie jest niepoprawne.
Pozostałe opcje albo zostawiają kwantyfikator bez zmian, albo zmieniają kolejność kwantyfikatorów, albo błędnie negują formułę wewnętrzną.
Odpowiedź: N = 2
Mapy Karnaugha: komórki są ułożone w kodzie Graya (00, 01, 11, 10), więc sąsiednie komórki, także te przez brzegi, różnią się dokładnie jedną zmienną. Grupuj jedynki w prostokąty po 1, 2, 4, 8 lub 16 komórek, jak największe i jak najmniej, aż każda jedynka będzie pokryta. Każda grupa to jeden iloczyn: zmienne, które wewnątrz niej pozostają stałe. Grupa 2ᵏ komórek traci k zmiennych. Stany nieokreślone (X) można wykorzystać, by powiększyć grupy, ale nigdy nie trzeba ich pokrywać. Grupowanie zer daje minimalną postać POS.
Każda grupa to prostokąt z 2ᵏ komórek; komórki na brzegu sąsiadują z komórkami na przeciwległym brzegu.
Odpowiedź: L = 8
Mapy Karnaugha: komórki są ułożone w kodzie Graya (00, 01, 11, 10), więc sąsiednie komórki, także te przez brzegi, różnią się dokładnie jedną zmienną. Grupuj jedynki w prostokąty po 1, 2, 4, 8 lub 16 komórek, jak największe i jak najmniej, aż każda jedynka będzie pokryta. Każda grupa to jeden iloczyn: zmienne, które wewnątrz niej pozostają stałe. Grupa 2ᵏ komórek traci k zmiennych. Stany nieokreślone (X) można wykorzystać, by powiększyć grupy, ale nigdy nie trzeba ich pokrywać. Grupowanie zer daje minimalną postać POS.
Największe grupy, jakie można utworzyć z jedynek i X.
Istnieje inne grupowanie tego samego rozmiaru; ma tę samą liczbę składników i literałów.
Odpowiedź: x = 60
Elementy odwrotne i kongruencje: a ma element odwrotny modulo n dokładnie wtedy, gdy NWD(a, n) = 1. Rozszerzony algorytm Euklidesa zapisuje 1 = s·n + t·a, a wtedy a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencja a·x ≡ b (mod n) przy NWD(a, n) = 1 ma rozwiązanie x ≡ a⁻¹·b. Dwie kongruencje x ≡ r₁ (mod m₁) i x ≡ r₂ (mod m₂) o względnie pierwszych modułach mają jedno rozwiązanie modulo m₁·m₂ (chińskie twierdzenie o resztach). Funkcja φ(n) Eulera zlicza liczby od 1 do n względnie pierwsze z n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Odpowiedź: m = 335
Potęgi modularne i RSA: oblicz aᵏ mod n przez wielokrotne podnoszenie do kwadratu: zapisz k binarnie, podnoś do kwadratu, redukuj po każdym kroku i mnóż potęgi, których bit jest równy 1. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) dla liczby pierwszej p niedzielącej a, więc wykładnik można redukować modulo p − 1. RSA: wybierz liczby pierwsze p i q, n = p·q i φ(n) = (p − 1)(q − 1); wykładnik publiczny e jest względnie pierwszy z φ(n), a wykładnik prywatny to d = e⁻¹ mod φ(n). Szyfruj wzorem c = mᵉ mod n, a odszyfrowuj wzorem m = cᵈ mod n.
Odpowiedź: B · O(n)
Jest n poziomów ze stałą pracą na każdym, jak przy rekurencyjnym sumowaniu tablicy.
Odpowiedź: B · Problemy decyzyjne rozwiązywalne przez algorytm deterministyczny w czasie wielomianowym
P zawiera problemy decyzyjne z deterministycznym algorytmem wielomianowym, np. sprawdzanie, czy graf jest spójny.
Odpowiedź: B · Kolejki o stałym rozmiarze
Bufor cykliczny używa indeksów head i tail, które się zawijają, dając enqueue i dequeue w O(1) przy stałej ilości pamięci.
Odpowiedź: C · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
Drzewo Fenwicka przechowuje sumy częściowe w zakresach wyznaczonych przez młodsze bity każdego indeksu, więc zarówno sumy prefiksowe, jak i aktualizacje punktowe zajmują O(log n).
Odpowiedź: H = 3
Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.
Odpowiedź: d(F) = 29
Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.
Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.
Odpowiedź: A · 15
AVG ignoruje NULL, więc uśrednia 10 i 20, dając 15, a nie 30 / 3 = 10.
Odpowiedź: B · name nie jest ani grupowane, ani agregowane, więc nie ma jednej wartości na grupę
Każda kolumna na liście SELECT musi być w GROUP BY lub wewnątrz agregatu (albo zależeć funkcyjnie od kolumn grupujących); w przeciwnym razie wartość jest niejednoznaczna.
Odpowiedź: C · 1 ms
1500 bajtów = 12,000 bitów. 12,000 / 12,000,000 bit/s = 0,001 s = 1 ms. Opóźnienie transmisji zależy od rozmiaru pakietu i szybkości łącza, a nie od odległości.
Odpowiedź: A · 1500 bajtów
Standardowy Ethernet przenosi do 1500 bajtów ładunku; większe pakiety IP muszą być fragmentowane lub korzystać z wykrywania MTU ścieżki (path MTU discovery).
Odpowiedź: H = 14
Podsieci IPv4: adres ma 32 bity. Prefiks /p mówi, ile początkowych bitów wskazuje sieć; pozostałe 32 − p bitów numeruje hosty. Podsieć ma 2³²⁻ᵖ adresów, ale pierwszego (adres sieci) i ostatniego (adres rozgłoszeniowy) nie można przydzielić hostom, więc mieści się 2³²⁻ᵖ − 2 hostów. Wyjątki: /31 (łącze punkt-punkt, RFC 3021) wykorzystuje oba swoje 2 adresy dla hostów, a /32 to jeden adres (pojedynczy host lub loopback).
Odpowiedź: x = 224
Podsieci IPv4: adres ma 32 bity. Prefiks /p mówi, ile początkowych bitów wskazuje sieć; pozostałe 32 − p bitów numeruje hosty. Podsieć ma 2³²⁻ᵖ adresów, ale pierwszego (adres sieci) i ostatniego (adres rozgłoszeniowy) nie można przydzielić hostom, więc mieści się 2³²⁻ᵖ − 2 hostów. Wyjątki: /31 (łącze punkt-punkt, RFC 3021) wykorzystuje oba swoje 2 adresy dla hostów, a /32 to jeden adres (pojedynczy host lub loopback).
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals