W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Karta kredytowa ma nominalną stopę procentową 21 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Wyznacz efektywną stopę roczną EAR w procentach.
r = 21%m = 4
EAR = %
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €15 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 3 lat przy 4,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €15 0004,2% / 12N = 36
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €100 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €6 000, a potem przepływ rośnie o 4 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 9 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 4%r = 9%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt A kosztuje €20 000 i przynosi €11 500, €8 000, €4 000 na koniec lat od 1 do 3. Projekt B kosztuje €22 000 i przynosi €6 000, €9 000, €11 500. Wyznacz stopę graniczną r*, przy której oba projekty mają to samo NPV, w procentach.
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 4,5% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 9 latach. Rentowność do wykupu wynosi 2,5% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.
F = €1 000kupon = 4,5%YTM = 2,5%n = 9
P = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 3%n = 6YTM = 5%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 11%, koszt długu przed opodatkowaniem 4%, a stopa podatkowa 28%. Wyznacz WACC.
Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 1. Stawka podatku wynosi 25%, stopa wolna od ryzyka 4%, a rynkowa premia za ryzyko 6%. Wyznacz koszt kapitału własnego re przy nowej strukturze kapitału.
βU = 1D/E = 1T = 25%rf = 4%rm − rf = 6%
re = %
9.Analiza progu rentownościŚredni
Produkt można wytwarzać na dwa sposoby. Metoda A ma koszty stałe €15 000 rocznie i koszt zmienny €18 na sztukę. Bardziej zautomatyzowana metoda B ma koszty stałe €30 000 rocznie i koszt zmienny €12 na sztukę. Przy jakiej rocznej wielkości produkcji Q obie metody kosztują tyle samo?
FA = €15 000vA = €18FB = €30 000vB = €12
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Produkt sprzedaje się po €7 za sztukę, przy koszcie zmiennym €4 na sztukę i kosztach stałych €1 500 rocznie. Planowana sprzedaż to 580 szt. Wyznacz margines bezpieczeństwa MS jako procent planowanej sprzedaży.
F = €1 500p = €7v = €4plan = 580
MS = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: EAR = 22,71 %
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Stopa na okres
r/m = 0,21/4 = 0,0525
Kapitalizacja w ciągu roku
EAR = (1 + 0,0525)4 − 1 = 1,227 − 1 = 22,71%
Odpowiedź
EAR = 22,71%
Efektywna stopa roczna jest zawsze wyższa od nominalnej, gdy odsetki kapitalizuje się częściej niż raz w roku.
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: I = 991 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,0035, N = 36
A = 15 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−36) = €444,20
Łączne odsetki
I = N·A − P = 36·444,2 − 15 000 = €991,04
Odpowiedź
I = €991,04
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 20000 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość przepływów
PV = 6 000/(0,09 − 0,04) = 120 000,00
NPV
NPV = 120 000,00 − 100 000 = €20 000,00
Odpowiedź
NPV = €20 000,00
NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.
4.NPV i IRR
Odpowiedź: r* = 5,989 %
Stopa graniczna (punkt Fishera): stopa dyskontowa, przy której dwa projekty mają to samo NPV. Jest to IRR różnicy ich przepływów (B − A). Poniżej niej wyższe NPV ma projekt z późniejszymi, większymi przepływami; powyżej wygrywa drugi.
Różnica przepływów
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 6 000 − 11 500 = −5 500
ΔCF2 = 9 000 − 8 000 = 1 000
ΔCF3 = 11 500 − 4 000 = 7 500
IRR różnicy
NPVΔ(5%) = 147,72
NPVΔ(6%) = −1,54
r* = 5,989%
Odpowiedź
r* = 5,989%
Sprawdzenie: przy 5,989% oba NPV wynoszą €1 331,00.
5.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: P = 1160 €
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Na okres
C = €22,50, i = 0,0125, N = 18
Wartość bieżąca kuponów
€22,50·(1 − 0,7996)/0,0125 = €360,66
Wartość bieżąca wartości nominalnej
€1 000·0,7996 = €799,63
Cena
P = €1 160,30
Odpowiedź
P = €1 160,30
Rentowność jest niższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z premią.
6.Cena i rentowność obligacji
Odpowiedź: D = 5,552 lata
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 30/1,05 = 28,57, t·PV = 28,57
t = 2: 30/1,103 = 27,21, t·PV = 54,42
t = 3: 30/1,158 = 25,92, t·PV = 77,75
t = 4: 30/1,216 = 24,68, t·PV = 98,72
t = 5: 30/1,276 = 23,51, t·PV = 117,53
t = 6: 1030/1,34 = 768,60, t·PV = 4 611,61
Duration
P = 898,49
D = 4 988,60/898,49 = 5,552
Odpowiedź
D = 5,552 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 7,752 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·11% + 0,4·4%·(1 − 0,28) = 7,752%
Odpowiedź
WACC = 7,752%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 14,5 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Beta lewarowana
βL = 1·(1 + 0,75·1) = 1,75
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 4% + 1,75·6% = 14,5%
Odpowiedź
re = 14,5%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 2500 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Równe koszty całkowite
15 000 + 18Q = 30 000 + 12Q
Wyznacz Q
Q = (30 000 − 15 000)/(18 − 12) = 2 500
Odpowiedź
Q = 2 500 szt.
Poniżej tej wielkości tańsza jest metoda A; powyżej tańsza jest zautomatyzowana metoda B.
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: MS = 13,79 %
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).