Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 4 lat potrzebujesz €25 000. Konto daje 5 % rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €25 0005% / 4n = 4

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Odkładasz €300 na koniec każdego miesiąca przez 6 lat. Konto daje 4,8 % rocznie z miesięczną kapitalizacją. Ile uzbierasz na koniec? Wyznacz FV.

A = €3004,8% / 12N = 72

FV = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €200 000. Na koniec pierwszego roku przynosi €10 000, a potem przepływ rośnie o 4 % rocznie bez końca. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €10 000g = 4%r = 8%

NPV = €

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €10 000 i przynosi €4 000, €5 500, €7 000 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 5 500CF₃ = 7 000

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 zapada za 14 lat i wypłaca roczne kupony. Kosztuje €904, gdy rentowność do wykupu wynosi 5,5%. Wyznacz oprocentowanie kuponowe c w procentach.

F = €1 000n = 14P = €904YTM = 5,5%

c = %

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 7% zostanie wykupiona po 3 latach, a jej cena wynosi €1 055. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.

F = €1 000kupon = 7%n = 3P = €1 055

YTM = %

7.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 1,6 ma wymaganą stopę zwrotu 12%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 4%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 1,6r_e = 12%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM i WACCTrudny

Działalność firmy ma betę niezlewarowaną (aktywów) 1,1. Firma planuje wskaźnik dług/kapitał własny 1,5. Stawka podatku wynosi 20%, stopa wolna od ryzyka 4%, a rynkowa premia za ryzyko 5%. Wyznacz koszt kapitału własnego r_e przy nowej strukturze kapitału.

β_U = 1,1D/E = 1,5T = 20%r_f = 4%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Produkt sprzedaje się po €35 za sztukę przy koszcie zmiennym €30 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €20 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €6 000?

F = €20 000p = €35v = €30zysk = €6 000

Q = szt.

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje 3 200 sztuk po €32 za sztukę, przy koszcie zmiennym €20 na sztukę i kosztach stałych €24 000. O ile procent %ΔΠ zmieni się zysk operacyjny, jeśli wolumen sprzedaży wzrośnie o 10 %?

Q = 3 200p = €32v = €20F = €24 000%ΔQ = +10%

%ΔΠ = %

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 20494 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·4 = 16

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,22 = €20 493,66

Odpowiedź

PV = €20 493,66

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: FV = 24974 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·6 = 72

Wartość przyszła wpłat

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,333 − 1)/0,004 = €24 974,35

Odpowiedź

FV = €24 974,35

Sam wpłaciłeś €21 600; reszta to odsetki.

3.NPV i IRR

Odpowiedź: NPV = 50000 €

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Wartość przepływów

PV = 10 000/(0,08 − 0,04) = 250 000,00

NPV

NPV = 250 000,00 − 200 000 = €50 000,00

Odpowiedź

NPV = €50 000,00

NPV jest dodatnia, więc projekt zarabia więcej niż wymagana stopa zwrotu.

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 26,86 %

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(25%) = 304,00

NPV(30%) = −482,48

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 25 + 5·304,00/(304,00 − (−482,48)) = 26,93%

dokładnie: NPV(26,86%) = 0 → IRR = 26,86%

Odpowiedź

IRR = 26,86%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: c = 4,499 %

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Wartość bieżąca wartości nominalnej

1000·(1 + 0,055)⁻¹⁴ = €472,57

Kupon

C = (904 − 472,57)/9,59 = €44,99

Oprocentowanie kuponu

c = 44,99/1000 = 4,499%

Odpowiedź

c = 4,499%

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: YTM = 4,981 %

Równanie dla rentowności

€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Rozwiąż numerycznie

P(4%) = €1 083,25, P(5%) = €1 054,46

YTM = 4,981%

Odpowiedź

YTM = 4,981%

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 9 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (12% − 4%)/1,6 = 5%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 4% + 5% = 9%

Odpowiedź

r_m = 9%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_e = 16,1 %

Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie β_U to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.

Beta lewarowana

β_L = 1,1·(1 + 0,8·1,5) = 2,42

Koszt kapitału własnego (CAPM)

r_e = 4% + 2,42·5% = 16,1%

Odpowiedź

r_e = 16,1%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 5200 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Jednostkowa marża pokrycia

p − v = 35 − 30 = €5

Sztuki dla docelowego zysku

Q = (F + zysk)/(p − v) = (20 000 + 6 000)/5 = 5 200

Odpowiedź

Q = 5 200 szt.

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: %ΔΠ = 26,67 %

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Marża pokrycia i zysk

CM = 3 200·12 = €38 400

Π = 38 400 − 24 000 = €14 400

DOL

DOL = 38 400/14 400 = 2,667

Zmiana zysku

%ΔΠ = 2,667·(+10%) = +26,67%

Odpowiedź

%ΔΠ = +26,67%

Sprawdzenie: nowy zysk = 3 520·12 − 24 000 = €18 240,00.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance