Finanse przedsiębiorstw: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Wartość pieniądza w czasie

Wartość przyszła: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Wartość bieżąca: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Kilka okresów w roku: i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Renta, wartość przyszła: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metoda

Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.

NPV i IRR

Wartość bieżąca netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Równe przepływy pieniężne: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu: r, przy którym NPV = 0
Decyzja: przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)

Metoda

Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CF_t/(1 + r)^t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.

Cena i rentowność obligacji

Cena obligacji: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Półrocznie: C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu: C/P
Cena i rentowność: rentowność rośnie → cena spada

Metoda

Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.

CAPM i WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa: V = E + D

Analiza progu rentowności

Marża pokrycia: CM = p − v
Ilość w progu rentowności: Q_BE = FC/(p − v)
Zysk docelowy: Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk: π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa: (Q − Q_BE)/Q

2Zadania do ćwiczenia

1.Wartość pieniądza w czasieŚredni

Za 6 lat potrzebujesz €25 000. Konto daje 6 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile musisz wpłacić dziś? Wyznacz wartość bieżącą PV.

FV = €25 0006% / 12n = 6

PV = €

2.Wartość pieniądza w czasieTrudny

Za 4 lat chcesz mieć €100 000. Na koniec każdego miesiąca odkładasz tę samą kwotę na konto oprocentowane 4,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz miesięczną wpłatę A.

FV = €100 0004,2% / 12N = 48

A = €

3.NPV i IRRŚredni

Projekt kosztuje dziś €30 000 i przynosi €10 500 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 5 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 500CF₂ = 10 500CF₃ = 10 500CF₄ = 10 500CF₅ = 10 500

DPB = lata

4.NPV i IRRTrudny

Projekt kosztuje €50 000 i przynosi €35 000, €33 500, €21 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.

CF₀ = −50 000CF₁ = 35 000CF₂ = 33 500CF₃ = 21 500

IRR = %

5.Cena i rentowność obligacjiŚredni

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 3% w dwóch ratach półrocznych, a jej wykup nastąpi po 6 latach. Rentowność do wykupu wynosi 8% rocznie. Wyznacz cenę P obligacji.

F = €1 000kupon = 3%YTM = 8%n = 6

P = €

6.Cena i rentowność obligacjiTrudny

Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% i zapada za 3 lat. Rentowność do wykupu wynosi 3%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.

F = €1 000kupon = 8%n = 3YTM = 3%

D = lata

7.CAPM i WACCŚredni

Akcja o becie 0,9 ma wymaganą stopę zwrotu 8,4%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 3%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku r_m implikuje CAPM?

β = 0,9r_e = 8,4%r_f = 3%

r_m = %

8.CAPM i WACCTrudny

Firma ma kapitał własny o wartości rynkowej €12 000 000 i koszcie 12%. Jej dług stanowi 2 000 obligacji (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%, 11 lat do wykupu), notowanych po €957 za sztukę. Stawka podatku wynosi 30%. Wyznacz WACC, przyjmując rentowność do wykupu obligacji jako koszt długu przed opodatkowaniem.

E = €12 000 000r_e = 12%obligacje: 2 000 × €957kupon = 4%n = 11T = 30%

WACC = %

9.Analiza progu rentownościŚredni

Firma sprzedaje 3 600 sztuk po €49 za sztukę. Koszt zmienny wynosi €45 na sztukę, a koszty stałe €4 800. Wyznacz stopień dźwigni operacyjnej DOL przy tym poziomie sprzedaży.

Q = 3 600p = €49v = €45F = €4 800

DOL =

10.Analiza progu rentownościTrudny

Firma sprzedaje miesięcznie 1 200 sztuk po €22 za sztukę, przy koszcie zmiennym €12 na sztukę i kosztach stałych €8 000 miesięcznie. Koszt zmienny rośnie o €4 na sztukę, a cena pozostaje bez zmian. Ile sztuk Q trzeba teraz sprzedawać miesięcznie, aby utrzymać ten sam zysk?

Q = 1 200p = €22v = €12 → €16F = €8 000

Q = szt.

3Roztwory

1.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: PV = 17458 €

Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.

Stopa i liczba okresów

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·6 = 72

Wartość bieżąca

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,432 = €17 457,56

Odpowiedź

PV = €17 457,56

2.Wartość pieniądza w czasie

Odpowiedź: A = 1917 €

Stopa miesięczna i liczba wpłat

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·4 = 48

Wpłata

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0,0035/(1,183 − 1) = €1 916,87

Odpowiedź

A = €1 916,87

3.NPV i IRR

Odpowiedź: DPB = 3,163 lata

Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.

Przepływy zdyskontowane i skumulowane

rok 1: 10 500/1,05 = 10 000,00 → Σ = 10 000,00

rok 2: 10 500/1,103 = 9 523,81 → Σ = 19 523,81

rok 3: 10 500/1,158 = 9 070,29 → Σ = 28 594,10

rok 4: 10 500/1,216 = 8 638,38 → Σ = 37 232,48

Ułamek ostatniego roku

DPB = 3 + 1 405,90/8 638,38 = 3,163

Odpowiedź

DPB = 3,163 lata

Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (2,857 lat).

4.NPV i IRR

Odpowiedź: IRR = 39,88 %

Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.

Ogranicz IRR z obu stron

NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.

NPV(35%) = 3 045,78

NPV(40%) = −72,89

Zawężaj

Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.

IRR ≈ 35 + 5·3 045,78/(3 045,78 − (−72,89)) = 39,88%

dokładnie: NPV(39,88%) = 0 → IRR = 39,88%

Odpowiedź

IRR = 39,88%

5.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: P = 765,4 €

Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.

Na okres

C = €15,00, i = 0,04, N = 12

Wartość bieżąca kuponów

€15,00·(1 − 0,6246)/0,04 = €140,78

Wartość bieżąca wartości nominalnej

€1 000·0,6246 = €624,60

Cena

P = €765,37

Odpowiedź

P = €765,37

Rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, więc obligacja jest sprzedawana z dyskontem.

6.Cena i rentowność obligacji

Odpowiedź: D = 2,798 lata

Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Wartość bieżąca każdego przepływu

t = 1: 80/1,03 = 77,67, t·PV = 77,67

t = 2: 80/1,061 = 75,41, t·PV = 150,82

t = 3: 1080/1,093 = 988,35, t·PV = 2 965,06

Duration

P = 1 141,43

D = 3 193,54/1 141,43 = 2,798

Odpowiedź

D = 2,798 lata

7.CAPM i WACC

Odpowiedź: r_m = 9 %

Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).

Rynkowa premia za ryzyko

r_m − r_f = (8,4% − 3%)/0,9 = 6%

Stopa zwrotu z rynku

r_m = 3% + 6% = 9%

Odpowiedź

r_m = 9%

8.CAPM i WACC

Odpowiedź: WACC = 10,78 %

Koszt długu (YTM)

957 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 4,504%

Wartości rynkowe

D = 2 000·€957 = €1 914 000

V = €13 914 000, E/V = 0,8624, D/V = 0,1376

WACC

WACC = 0,8624·12% + 0,1376·4,504%·(1 − 0,3) = 10,78%

Odpowiedź

WACC = 10,78%

9.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: DOL = 1,5

Dźwignia operacyjna: koszty stałe sprawiają, że zysk reaguje silniej niż sprzedaż. Stopień dźwigni operacyjnej DOL = marża pokrycia/zysk operacyjny mówi, że zmiana sprzedaży o 1 % zmienia zysk o DOL %. Jest bardzo wysoki tuż powyżej progu rentowności i maleje wraz ze wzrostem sprzedaży.

Całkowita marża pokrycia

CM = 3 600·(49 − 45) = €14 400

Zysk operacyjny

Π = 14 400 − 4 800 = €9 600

DOL

DOL = 14 400/9 600 = 1,5

Odpowiedź

DOL = 1,5

10.Analiza progu rentowności

Odpowiedź: Q = 2000 szt.

Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).

Obecny zysk

Π = 1 200·(22 − 12) − 8 000 = €4 000

Nowa jednostkowa marża pokrycia

22 − 16 = €6

Liczba sztuk dla tego samego zysku

Q = (8 000 + 4 000)/6 = 2 000

Odpowiedź

Q = 2 000 szt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance