W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Renta wypłaca €500 na koniec każdego roku przez 7 lat. Stopa procentowa wynosi 7 % rocznie. Wyznacz wartość bieżącą PV renty.
A = €500i = 7%n = 7
PV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt hipoteczny €150 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 25 lat przy 3 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile pozostaje do spłaty tuż po racie na koniec roku 11? Wyznacz saldo zadłużenia B.
P = €150 0003% / 12N = 300k = 132
B = €
3.NPV i IRRŚredni
Projekt kosztuje dziś €50 000 i przynosi €16 500 na koniec każdego roku przez 5 lat. Koszt kapitału wynosi 8 %. Załóż, że przepływy napływają równomiernie w ciągu każdego roku. Wyznacz zdyskontowany okres zwrotu DPB w latach.
Projekt kosztuje €20 000 i przynosi €11 000, €10 500, €12 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 10 500CF3 = 12 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Kupujesz obligację z 11 latami do wykupu (wartość nominalna €1 000, roczny kupon 4%), gdy jej rentowność do wykupu wynosi 3%. Rok później, tuż po otrzymaniu pierwszego kuponu, sprzedajesz ją, gdy rentowność do wykupu wynosi 2,5%. Wyznacz swoją stopę zwrotu z okresu posiadania HPR w procentach.
F = €1 000kupon = 4%n = 11y0 = 3%y1 = 2,5%
HPR = %
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% i zapada za 6 lat. Rentowność do wykupu wynosi 3,5%. Wyznacz duration Macaulaya D w latach.
F = €1 000kupon = 8%n = 6YTM = 3,5%
D = lata
7.CAPM i WACCŚredni
Spółka ma kapitał własny o wartości €3 000 000 i dług o wartości €2 000 000. Jej koszt kapitału własnego wynosi 12%, koszt długu przed opodatkowaniem 5%, a stopa podatkowa 30%. Wyznacz WACC.
Akcje firmy mają betę 1,3 przy obecnym wskaźniku dług/kapitał własny 0,5. Firma planuje podnieść ten wskaźnik do 1. Stawka podatku wynosi 30%, stopa wolna od ryzyka 3%, a rynkowa premia za ryzyko 4%. Wyznacz koszt kapitału własnego re po zmianie.
Produkt sprzedaje się po €20 za sztukę przy koszcie zmiennym €8 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €18 000 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €12 000?
F = €18 000p = €20v = €8zysk = €12 000
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Produkt sprzedaje się po €40 za sztukę, przy koszcie zmiennym €30 na sztukę i kosztach stałych €40 000 rocznie. Planowana sprzedaż to 5 200 szt. Wyznacz margines bezpieczeństwa MS jako procent planowanej sprzedaży.
F = €40 000p = €40v = €30plan = 5 200
MS = %
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: PV = 2695 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Współczynnik dyskontowy renty
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6227)/0,07 = 5,389
Wartość bieżąca
PV = 500·5,389 = €2 694,64
Odpowiedź
PV = €2 694,64
2.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: B = 97481 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,0025, N = 300
A = 150 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−300) = €711,32
Wartość bieżąca pozostałych rat
To, co pozostaje do spłaty, musi zostać dokładnie spłacone pozostałymi ratami.
N − k = 300 − 132 = 168
B = 711,3·(1 − (1 + 0,0025)−168)/0,0025 = €97 481,36
Odpowiedź
B = €97 481,36
3.NPV i IRR
Odpowiedź: DPB = 3,617 lata
Okres zwrotu: czas, po którym skumulowane przepływy pieniężne zwracają nakład początkowy. Zakłada się, że gotówka wpływa równomiernie w ciągu każdego roku, więc ostatnia część to ułamek roku. Prosty okres zwrotu pomija wartość pieniądza w czasie; zdyskontowany okres zwrotu wykorzystuje zamiast tego zdyskontowane przepływy.
Przepływy zdyskontowane i skumulowane
rok 1: 16 500/1,08 = 15 277,78 → Σ = 15 277,78
rok 2: 16 500/1,166 = 14 146,09 → Σ = 29 423,87
rok 3: 16 500/1,26 = 13 098,23 → Σ = 42 522,10
rok 4: 16 500/1,36 = 12 127,99 → Σ = 54 650,09
Ułamek ostatniego roku
DPB = 3 + 7 477,90/12 127,99 = 3,617
Odpowiedź
DPB = 3,617 lata
Zdyskontowany okres zwrotu jest zawsze dłuższy niż prosty okres zwrotu (3,03 lat).
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 31,27 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(30%) = 364,13
NPV(35%) = −1 010,01
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Duration: duration Macaulaya to średni ważony czas, w którym obligacja wypłaca swoje przepływy, z wartościami bieżącymi przepływów jako wagami: D = Σ t·PVₜ/P. Zmodyfikowana duration D/(1 + y) szacuje procentową zmianę ceny przy niewielkiej zmianie rentowności: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Wartość bieżąca każdego przepływu
t = 1: 80/1,035 = 77,29, t·PV = 77,29
t = 2: 80/1,071 = 74,68, t·PV = 149,36
t = 3: 80/1,109 = 72,16, t·PV = 216,47
t = 4: 80/1,148 = 69,72, t·PV = 278,86
t = 5: 80/1,188 = 67,36, t·PV = 336,79
t = 6: 1080/1,229 = 878,58, t·PV = 5 271,48
Duration
P = 1 239,78
D = 6 330,26/1 239,78 = 5,106
Odpowiedź
D = 5,106 lata
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 8,6 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Wagi
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·12% + 0,4·5%·(1 − 0,3) = 8,6%
Odpowiedź
WACC = 8,6%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: re = 9,548 %
Beta lewarowana (Hamada): dług zwiększa ryzyko kapitału własnego. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), gdzie βU to beta działalności bez długu. Aby przenieść betę na inną strukturę kapitału, najpierw usuń z niej wpływ dźwigni, a potem ponownie ją zlewaruj przy nowym D/E.
Usuń dźwignię z bety
βU = 1,3/(1 + 0,7·0,5) = 0,963
Zlewaruj ponownie przy nowym D/E
βL = 0,963·(1 + 0,7·1) = 1,637
Koszt kapitału własnego (CAPM)
re = 3% + 1,637·4% = 9,548%
Odpowiedź
re = 9,548%
9.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 2500 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).