W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.
1Wzory i metody
Wartość pieniądza w czasie
Wartość przyszła
FV = PV·(1 + i)n
Wartość bieżąca
PV = FV/(1 + i)n
Kilka okresów w roku
i = r/m, N = m·n
Renta, wartość bieżąca
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Renta, wartość przyszła
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metoda
Narysuj oś czasu z każdym przepływem pieniężnym i jego terminem.
Dopasuj stopę do okresu: miesięczna stopa dla miesięcznych płatności.
Użyj FV = PV·(1 + i)ⁿ dla pojedynczych kwot i wzorów na rentę dla równych płatności.
Sprawdź znak i rząd wielkości odpowiedzi.
NPV i IRR
Wartość bieżąca netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Równe przepływy pieniężne
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Wewnętrzna stopa zwrotu
r, przy którym NPV = 0
Decyzja
przyjmij, gdy NPV > 0 (lub IRR > wymagana stopa zwrotu)
Metoda
Wypisz wszystkie przepływy pieniężne z ich rokiem; inwestycja w roku 0 jest ujemna.
Zdyskontuj każdy przepływ: CFt/(1 + r)t.
Zsumuj je, aby otrzymać NPV. Wartość dodatnia oznacza, że projekt zarabia więcej niż r.
Dla IRR znajdź stopę, przy której NPV jest równe zeru, metodą prób lub interpolacji.
Cena i rentowność obligacji
Cena obligacji
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Półrocznie
C/2, y/2 i 2n okresów
Bieżąca stopa dochodu
C/P
Cena i rentowność
rentowność rośnie → cena spada
Metoda
Wyznacz kupon na okres i rentowność na okres.
Cena = wartość bieżąca kuponów (renta) + wartość bieżąca wartości nominalnej.
Przy kuponach półrocznych użyj połowy kuponu, połowy rentowności i dwa razy większej liczby okresów.
Sprawdzenie: jeśli rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, cena jest niższa od wartości nominalnej.
CAPM i WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Wartość przedsiębiorstwa
V = E + D
Analiza progu rentowności
Marża pokrycia
CM = p − v
Ilość w progu rentowności
QBE = FC/(p − v)
Zysk docelowy
Q = (FC + profit)/(p − v)
Zysk
π = (p − v)·Q − FC
Margines bezpieczeństwa
(Q − QBE)/Q
2Zadania do ćwiczenia
1.Wartość pieniądza w czasieŚredni
Inwestujesz €5 000 przy nominalnej stopie 5 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Wyznacz wartość FV inwestycji po 10 latach.
PV = €5 0005% / 12n = 10
FV = €
2.Wartość pieniądza w czasieTrudny
Kredyt €25 000 jest spłacany w równych ratach miesięcznych przez 3 lat przy 4,2 % rocznie z kapitalizacją miesięczną. Ile odsetek I zapłaci się łącznie przez cały okres kredytu?
P = €25 0004,2% / 12N = 36
I = €
3.NPV i IRRŚredni
Maszyna kosztuje dziś €30 000. Przynosi €9 500 na koniec każdego roku przez 4 lat, a potem można ją sprzedać za €6 000. Koszt kapitału wynosi 8 %. Wyznacz wartość bieżącą netto NPV.
C0 = €30 000CF = €9 500S = €6 000n = 4r = 8%
NPV = €
4.NPV i IRRTrudny
Projekt kosztuje €25 000 i przynosi €12 500, €14 000, €12 500 na koniec lat od 1 do 3. Wyznacz jego wewnętrzną stopę zwrotu IRR w procentach.
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 14 000CF3 = 12 500
IRR = %
5.Cena i rentowność obligacjiŚredni
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 wypłaca roczny kupon 8% i zapada za 4 lat. Jej rentowność do wykupu zmienia się z 9% na 11%. O ile ΔP zmienia się cena obligacji?
F = €1 000kupon = 8%n = 4y1 = 9%y2 = 11%
ΔP = €
6.Cena i rentowność obligacjiTrudny
Obligacja o wartości nominalnej €1 000 i rocznym kuponie 5% zostanie wykupiona po 6 latach, a jej cena wynosi €885. Wyznacz jej rentowność do wykupu YTM w procentach.
F = €1 000kupon = 5%n = 6P = €885
YTM = %
7.CAPM i WACCŚredni
Akcja o becie 1,4 ma wymaganą stopę zwrotu 9,2%. Stopa wolna od ryzyka wynosi 1,5%. Jaką oczekiwaną stopę zwrotu z rynku rm implikuje CAPM?
β = 1,4re = 9,2%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM i WACCTrudny
Firma ma 4 000 000 akcji notowanych po €49,00; wartość księgowa jej kapitału własnego wynosi €78 400 000. Właśnie wypłaciła dywidendę €1,40 na akcję, a dywidendy rosną o 4% rocznie. Jej dług ma wartość rynkową €58 800 000 i koszt przed opodatkowaniem 4,5%. Stawka podatku wynosi 28%. Wyznacz WACC, przyjmując koszt kapitału własnego z modelu stałego wzrostu dywidendy.
Produkt sprzedaje się po €60 za sztukę przy koszcie zmiennym €45 na sztukę. Koszty stałe wynoszą €7 500 miesięcznie. Ile sztuk Q trzeba sprzedawać miesięcznie, aby osiągnąć zysk €6 000?
F = €7 500p = €60v = €45zysk = €6 000
Q = szt.
10.Analiza progu rentownościTrudny
Firma sprzedaje miesięcznie 3 000 sztuk po €38 za sztukę, przy koszcie zmiennym €18 na sztukę i kosztach stałych €30 000 miesięcznie. Koszt zmienny rośnie o €4 na sztukę, a cena pozostaje bez zmian. Ile sztuk Q trzeba teraz sprzedawać miesięcznie, aby utrzymać ten sam zysk?
Q = 3 000p = €38v = €18 → €22F = €30 000
Q = szt.
3Roztwory
1.Wartość pieniądza w czasie
Odpowiedź: FV = 8235 €
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Wartość pieniądza w czasie: pieniądz dziś jest wart więcej niż ta sama kwota później, bo może przynosić odsetki. Przy stopie i na okres kwota rośnie do FV = PV·(1 + i)n. Ciąg równych płatności (rentę) wycenia się, sumując wszystkie płatności, z czego wynikają wzory na rentę.
Rata miesięczna
i = 0,0035, N = 36
A = 25 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−36) = €740,33
Łączne odsetki
I = N·A − P = 36·740,3 − 25 000 = €1 651,73
Odpowiedź
I = €1 651,73
3.NPV i IRR
Odpowiedź: NPV = 5875 €
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Wartość bieżąca rocznych przepływów
9 500·3,312 = 31 465,20
Wartość bieżąca wartości końcowej
6 000/1,36 = 4 410,18
NPV
NPV = −30 000 + 31 465,20 + 4 410,18 = €5 875,38
Odpowiedź
NPV = €5 875,38
4.NPV i IRR
Odpowiedź: IRR = 25,97 %
Wartość bieżąca netto: zdyskontuj każdy przepływ do dziś wymaganą stopą zwrotu r i zsumuj: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projekt z NPV > 0 zarabia więcej niż r i tworzy wartość. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) to stopa, przy której NPV = 0.
Ogranicz IRR z obu stron
NPV maleje, gdy stopa rośnie, więc IRR leży między stopą z dodatnią a stopą z ujemną NPV.
NPV(25%) = 360,00
NPV(30%) = −1 411,02
Zawężaj
Interpolacja liniowa daje pierwsze przybliżenie; powtarzanie jej (albo funkcja IRR kalkulatora) daje dokładną stopę.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Wycena obligacji: cena obligacji to wartość bieżąca jej przepływów pieniężnych zdyskontowanych rentownością do wykupu (YTM): kupony tworzą rentę, a wartość nominalna jest zwracana w dniu wykupu. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Gdy rentowność jest wyższa od oprocentowania kuponu, obligacja notowana jest poniżej wartości nominalnej, i odwrotnie.
Równanie dla rentowności
€885 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Rozwiąż numerycznie
P(7%) = €904,67, P(8%) = €861,31
YTM = 7,446%
Odpowiedź
YTM = 7,446%
7.CAPM i WACC
Odpowiedź: rm = 7 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Rynkowa premia za ryzyko
rm − rf = (9,2% − 1,5%)/1,4 = 5,5%
Stopa zwrotu z rynku
rm = 1,5% + 5,5% = 7%
Odpowiedź
rm = 7%
8.CAPM i WACC
Odpowiedź: WACC = 6,11 %
Koszt kapitału: CAPM daje stopę zwrotu wymaganą przez akcjonariuszy: re = rf + β·(rm − rf). Średni ważony koszt kapitału łączy kapitał własny i dług według ich wartości rynkowych: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), gdzie V = E + D. Odsetki pomniejszają podstawę opodatkowania, stąd czynnik (1 − T).
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).
Jednostkowa marża pokrycia
p − v = 60 − 45 = €15
Sztuki dla docelowego zysku
Q = (F + zysk)/(p − v) = (7 500 + 6 000)/15 = 900
Odpowiedź
Q = 900 szt.
10.Analiza progu rentowności
Odpowiedź: Q = 3750 szt.
Koszt–wolumen–zysk: każda sprzedana sztuka daje marżę pokrycia: cena minus jednostkowy koszt zmienny. Zysk = Q·(p − v) − F, gdzie F to koszty stałe. W progu rentowności zysk jest zerowy, więc Q = F/(p − v).