Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oznacza, że problem ma optymalną podstrukturę?

  1. AOptymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
  2. BProblem ma dokładnie jedno rozwiązanie optymalne, wspólne dla wszystkich podproblemów
  3. CKażdy podproblem ma ten sam rozmiar
  4. DProblem można rozwiązać w czasie stałym
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak porównują się n! i 2ⁿ dla dużych n?

  1. ARosną w tym samym tempie
  2. Bn! rośnie szybciej niż 2ⁿ
  3. C2ⁿ rośnie szybciej niż n!
  4. Dn! jest O(n²)
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa przeszukiwanie w głąb (DFS) w wersji iteracyjnej?

  1. AStosu
  2. BKopca
  3. CWyłącznie tablicy mieszającej
  4. DKolejki
4.Struktury danychTrudny

Jak wykryć, czy lista jednokierunkowa zawiera cykl, używając O(1) dodatkowej pamięci?

  1. AZapisywać każdy odwiedzony węzeł w zbiorze mieszającym
  2. BPosortować listę i szukać duplikatów
  3. CPrzesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają
  4. DLiczyć węzły, aż liczba przekroczy pole z długością listy
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
531112723128ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 5; sam A to runda 1.

start: Arunda 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów

Dlaczego to jest odpowiedź

Optymalna podstruktura jest wymagana zarówno przez algorytmy zachłanne, jak i przez programowanie dynamiczne, by dawały poprawne odpowiedzi.

Odpowiedź

A · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla n ≥ 4 n! przekracza 2ⁿ, a iloraz rośnie nieograniczenie, bo każdy kolejny czynnik n! jest większy niż 2.

Odpowiedź

B · n! rośnie szybciej niż 2ⁿ
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Stosu

Dlaczego to jest odpowiedź

DFS schodzi jak najgłębiej, naturalnie korzystając ze stosu (lub stosu wywołań rekurencji); BFS używa kolejki.

Odpowiedź

A · Stosu
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Przesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają

Dlaczego to jest odpowiedź

W algorytmie Floyda, jeśli jest cykl, szybki wskaźnik w końcu dogania wolny; w przeciwnym razie szybki wskaźnik dochodzi do null.

Odpowiedź

C · Przesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

C, E → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: D

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 5, C: 3
2. C (3): E: 10
3. B (5): D: 17
4. E (10): D: 12, F: 22
5. D (12): F: 15
6. F (15)

runda 5

D

Odpowiedź

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms