Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Rozwiązaniem rekurencji T(n) = 2T(n/2) + O(n) jest:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego wyszukiwanie binarne nie daje czasu O(log n) na liście jednokierunkowej?

  1. AWyszukiwanie binarne wymaga co najmniej dwa razy więcej pamięci
  2. BDotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie
  3. CPorównania na węzłach listy są wolniejsze
  4. DList nie da się posortować
3.Struktury danychŚredni

Drzewo trie (drzewo prefiksowe) jest szczególnie wydajne przy:

  1. AZnajdowaniu najkrótszych ścieżek
  2. BWyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu
  3. CSortowaniu liczb
  4. DPrzechowywaniu macierzy
4.Struktury danychTrudny

Ile trwa wyszukanie dowolnego klucza w binarnym kopcu minimalnym o n elementach?

  1. AO(log log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
121417199204ABCDE

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej (master theorem) dla a = 2, b = 2, f(n) = n wynika T(n) = Θ(n log n).

Odpowiedź

A · O(n log n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Dotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie

Dlaczego to jest odpowiedź

Wyszukiwanie binarne wymaga dostępu O(1) do środka; na liście dojście tam kosztuje czas liniowy, więc całość to O(n).

Odpowiedź

B · Dotarcie do środkowego elementu wymaga O(n) kroków, bo nie ma bezpośredniego dostępu po indeksie
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Wyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu

Dlaczego to jest odpowiedź

Trie przechowuje napisy znak po znaku wzdłuż ścieżek, więc wyszukiwanie i zapytania o prefiks zajmują czas proporcjonalny do długości klucza.

Odpowiedź

B · Wyszukiwaniu po prefiksie, np. autouzupełnianiu
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Kopiec nie daje reguły, które poddrzewo zawiera klucz, więc w najgorszym przypadku trzeba sprawdzić wszystkie węzły; szybko można znaleźć tylko minimum.

Odpowiedź

D · O(n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

B, D → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 44

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BE (4): weź
CE (9): weź
AB (12): weź
AC (14): pomiń, zamyka cykl
BC (17): pomiń, zamyka cykl
BD (19): weź

Łączna waga

W = 4 + 9 + 12 + 19 = 44

Odpowiedź

W = 44

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms