Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa obliczania n-tej liczby Fibonacciego za pomocą tablicy wypełnianej wstępująco (bottom-up)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Korzystając z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej (master theorem), rozwiązaniem T(n) = 8T(n/2) + O(n²) jest:

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n³)
3.Struktury danychŚredni

Ile trwa wyszukiwanie słowa o długości L w drzewie trie ze stałym alfabetem?

  1. AO(n), gdzie n to liczba słów
  2. BO(log n), gdzie n to liczba słów
  3. CO(L), niezależnie od liczby przechowywanych słów
  4. DO(L × n)
4.Struktury danychTrudny

Wstawienie klucza do drzewa AVL sprawia, że lewe poddrzewo pewnego węzła staje się zbyt wysokie, a nowy klucz trafił do lewego poddrzewa jego lewego dziecka (przypadek lewo-lewo). Jaką naprawę się stosuje?

  1. ARotację w lewo w dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
  2. BPojedynczą rotację w lewo w niezrównoważonym węźle
  3. CPrzekolorowanie węzła i jego dziecka
  4. DPojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K6? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K6
H =
6.Teoria grafówTrudny
141541471161011ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Wypełnienie tablicy od 0 do n wymaga jednego dodawania na element, więc praca jest liniowa zamiast wykładniczej.

Odpowiedź

C · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Θ(n³)

Dlaczego to jest odpowiedź

log₂ 8 = 3, a n² rośnie wolniej niż n³, więc dominują liście: Θ(n³).

Odpowiedź

D · Θ(n³)
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(L), niezależnie od liczby przechowywanych słów

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy znak wybiera jedno dziecko, więc wyszukiwanie zajmuje L kroków niezależnie od tego, ile słów zawiera trie.

Odpowiedź

C · O(L), niezależnie od liczby przechowywanych słów
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Pojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle

Dlaczego to jest odpowiedź

W przypadku lewo-lewo jedna rotacja w prawo podnosi lewe dziecko i przywraca zrównoważenie; przypadki zygzakowate wymagają podwójnej rotacji.

Odpowiedź

D · Pojedynczą rotację w prawo w niezrównoważonym węźle
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 60

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Odpowiedź

H = 60
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 43

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 14, C: 15
B (14): D: 28
C (15): G: 21
G (21): E: 32
D (28)
E (32): F: 43
F (43)

Najkrótsza ścieżka

A → C → G → E → F
d(F) = 43

Odpowiedź

d(F) = 43

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms