Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jak algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające?

  1. AUsuwa najdroższą krawędź, dopóki nie znikną cykle
  2. BRozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa
  3. CSortuje wszystkie krawędzie według wagi i dodaje każdą, o ile nie utworzy cyklu w lesie
  4. DUruchamia przeszukiwanie wszerz i zachowuje drzewo BFS
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log² n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Struktury danychŚredni

Kolejkę zaimplementowano za pomocą dwóch stosów: push na stos „in”, a pop ze stosu „out”, który, gdy jest pusty, uzupełnia się ze stosu „in”. Jaki jest zamortyzowany koszt jednej operacji?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego serwer może losowo wybierać funkcję mieszającą z rodziny uniwersalnej?

  1. ABy wyeliminować potrzebę zmiany rozmiaru tablicy
  2. BBy było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują
  3. CBy tablica mieszająca była posortowana
  4. DBy zagwarantować, że żadne dwa klucze nigdy nie będą kolidować, jakie klucze by nie wysłał atakujący
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K4? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K4
H =
6.Teoria grafówTrudny
613831173610ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(C) najkrótszej ścieżki z A do C w grafie ważonym.

start: Akoniec: C
d(C) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Rozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Prima z kolejką priorytetową krawędzi przekrojowych działa w czasie O(E log V) przy kopcu binarnym.

Odpowiedź

B · Rozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Θ(n log² n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Poziom k wykonuje około n log(n / 2ᵏ) pracy, a suma po log n poziomach daje Θ(n log² n); to rozszerzony drugi przypadek twierdzenia o rekurencji uniwersalnej.

Odpowiedź

A · Θ(n log² n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy element jest łącznie co najwyżej dwa razy odkładany i zdejmowany, więc choć jedno uzupełnienie może zająć O(n), średnia w ciągu operacji wynosi O(1).

Odpowiedź

C · O(1)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · By było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy haszowaniu uniwersalnym oczekiwana liczba kolizji jest mała dla dowolnego zbioru kluczy, bo atakujący nie wie, którą funkcję wybrano.

Odpowiedź

B · By było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 3

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Odpowiedź

H = 3
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(C) = 16

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 6
B (6): C: 19, D: 14, G: 13
G (13): C: 16, E: 23
D (14): E: 17, F: 25
C (16)
E (17)
F (25)

Najkrótsza ścieżka

A → B → G → C
d(C) = 16

Odpowiedź

d(C) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms