Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Przeszukiwanie wszerz w grafie nieważonym znajduje:

  1. AMinimalne drzewo rozpinające
  2. BNajkrótsze ścieżki (w liczbie krawędzi) od wierzchołka startowego
  3. CNajkrótsze ścieżki w grafach zawierających ujemne wagi krawędzi
  4. DPorządek topologiczny w dowolnym grafie
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego algorytm Dijkstry może dawać błędne wyniki, gdy niektóre wagi krawędzi są ujemne?

  1. ANa każdej ujemnej krawędzi wpada w nieskończoną pętlę
  2. BLiczb ujemnych nie można przechowywać w kolejce priorytetowej
  3. CDziała tylko na grafach nieskierowanych
  4. DWierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę
3.Struktury danychŚredni

Ile pamięci zajmuje macierz sąsiedztwa grafu o V wierzchołkach?

  1. AO(E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(log V)
  4. DO(V²)
4.Struktury danychTrudny

Która struktura danych umożliwia pamięć podręczną LRU (least recently used) z operacjami get i put w O(1)?

  1. AWyłącznie stos
  2. BWyłącznie binarne drzewo poszukiwań
  3. CPojedyncza posortowana tablica
  4. DMapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
19116174972ABCDEF

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Najkrótsze ścieżki (w liczbie krawędzi) od wierzchołka startowego

Dlaczego to jest odpowiedź

BFS odwiedza wierzchołki w kolejności odległości (w krawędziach) od źródła, więc znajduje najkrótsze ścieżki w grafie nieważonym w czasie O(V + E).

Odpowiedź

B · Najkrótsze ścieżki (w liczbie krawędzi) od wierzchołka startowego
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Wierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę

Dlaczego to jest odpowiedź

Krok zachłanny opiera się na nieujemnych wagach, dzięki którym pobrane odległości są ostateczne; gdy wagi mogą być ujemne, stosuje się Bellmana–Forda.

Odpowiedź

D · Wierzchołek jest zatwierdzany przy pobraniu, a późniejsza ujemna krawędź mogłaby jeszcze dać mu krótszą ścieżkę
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz sąsiedztwa przechowuje V × V wpisów, co jest wydajne dla grafów gęstych; listy sąsiedztwa zajmują O(V + E) i lepiej sprawdzają się dla grafów rzadkich.

Odpowiedź

D · O(V²)
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Mapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową

Dlaczego to jest odpowiedź

Mapa mieszająca znajduje węzły w O(1), a lista dwukierunkowa przenosi używane elementy na początek i usuwa elementy z końca w O(1).

Odpowiedź

D · Mapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Wierzchołki nieparzyste

A, B, E, F → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 30

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

EF (2): weź
CE (4): weź
BC (6): weź
DF (7): weź
DE (9): pomiń, zamyka cykl
AC (11): weź

Łączna waga

W = 2 + 4 + 6 + 7 + 11 = 30

Odpowiedź

W = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms