Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego w notacji dużego O zwykle pomija się podstawę logarytmu, jak w O(log n)?

  1. APodstawa ma znaczenie tylko dla małych n
  2. BLogarytmy zawsze zaokrągla się do liczb całkowitych
  3. CLogarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
  4. DWszystkie logarytmy w informatyce mają podstawę 10, więc jest ona domyślna
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co trzeba zrobić, aby wykazać, że nowy problem X jest NP-trudny?

  1. AZredukować X do znanego problemu NP-trudnego w czasie wielomianowym
  2. BWykazać, że X nie ma algorytmu wielomianowego dla małych danych
  3. CZredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym
  4. DWykazać, że X można zweryfikować w czasie wielomianowym
3.Struktury danychŚredni

Klucze 50, 30, 70, 20, 40 wstawia się w tej kolejności do pustego binarnego drzewa poszukiwań. Co jest lewym dzieckiem 30?

  1. A50
  2. B70
  3. C40
  4. D20
4.Struktury danychTrudny

Musisz zachować k najmniejszych wartości ze strumienia n liczb, używając O(k) pamięci. Które podejście działa w czasie O(n log k)?

  1. AKolejka FIFO ostatnich k wartości
  2. BKopiec minimalny przechowujący wszystkie n wartości, z którego na końcu zdejmuje się k najmniejszych
  3. CKopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość
  4. DPosortowana tablica wszystkich n wartości
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 20, liczba krawędzi 28. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 20|E| = 28
k =
6.Teoria grafówTrudny
1011571215162018ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmiana podstawy mnoży logarytm przez stałą, a duże O pomija stałe czynniki.

Odpowiedź

C · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli znany trudny problem można efektywnie przekształcić w X, to szybki algorytm dla X rozwiązałby też znany problem.

Odpowiedź

C · Zredukować znany problem NP-trudny do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · 20

Dlaczego to jest odpowiedź

20 jest mniejsze od 50 i mniejsze od 30, więc zostaje lewym dzieckiem 30; 40 zostaje jego prawym dzieckiem.

Odpowiedź

D · 20
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość

Dlaczego to jest odpowiedź

Korzeń kopca maksymalnego to największa zachowana wartość; każda mniejsza nowa wartość zastępuje go w O(log k), więc kopiec zawsze przechowuje k najmniejszych dotąd wartości.

Odpowiedź

C · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 9

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

20 − 1 = 19

Krawędzie do usunięcia

k = 28 − 19 = 9

Odpowiedź

k = 9
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 65

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BC (5): weź
BD (7): weź
AB (10): weź
AC (11): pomiń, zamyka cykl
CE (12): weź
EF (15): weź
GC (16): weź

Łączna waga

W = 5 + 7 + 10 + 12 + 15 + 16 = 65

Odpowiedź

W = 65

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms