Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Które stwierdzenie o funkcji rekurencyjnej bez osiągalnego przypadku bazowego jest poprawne?

  1. AAutomatycznie zwraca 0
  2. BKompilator zawsze zamienia ją na pętlę, która kończy się bezpiecznie
  3. CDziała w czasie O(1)
  4. DWywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jakie dwie rzeczy trzeba wykazać, aby udowodnić, że problem decyzyjny X jest NP-zupełny?

  1. AX nie ma algorytmu wielomianowego, a X jest rozstrzygalny
  2. BX należy do P, a X redukuje się do SAT
  3. CX należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
  4. DX redukuje się do problemu z P, a X należy do NP
3.Struktury danychŚredni

Kolejkę zaimplementowano za pomocą dwóch stosów: push na stos „in”, a pop ze stosu „out”, który, gdy jest pusty, uzupełnia się ze stosu „in”. Jaki jest zamortyzowany koszt jednej operacji?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego bazy danych do indeksów często używają B+ drzew zamiast zwykłych B-drzew?

  1. AB+ drzewa nie muszą być zrównoważone
  2. BB+ drzewa używają binarnych węzłów wewnętrznych, co zmniejsza liczbę odczytów z dysku
  3. CB+ drzewa przechowują dane tylko w korzeniu
  4. DWszystkie rekordy są w połączonych liściach, co czyni skanowanie zakresów wydajnym
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 18, liczba krawędzi 18. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 18|E| = 18
k =
6.Teoria grafówTrudny
6691391531ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Wywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań

Dlaczego to jest odpowiedź

Bez przypadku bazowego rekurencja nigdy się nie kończy; w praktyce brakuje pamięci na ramki stosu i program się zawiesza.

Odpowiedź

D · Wywołuje samą siebie, aż przepełni się stos wywołań
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym

Dlaczego to jest odpowiedź

Przynależność do NP pokazuje, że X nie jest trudniejszy niż NP; redukcja ze znanego problemu NP-zupełnego pokazuje, że X jest co najmniej tak trudny jak cała klasa NP.

Odpowiedź

C · X należy do NP, a znany problem NP-zupełny redukuje się do X w czasie wielomianowym
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy element jest łącznie co najwyżej dwa razy odkładany i zdejmowany, więc choć jedno uzupełnienie może zająć O(n), średnia w ciągu operacji wynosi O(1).

Odpowiedź

B · O(1)
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Wszystkie rekordy są w połączonych liściach, co czyni skanowanie zakresów wydajnym

Dlaczego to jest odpowiedź

W B+ drzewie węzły wewnętrzne tylko kierują wyszukiwaniem, a liście są połączone w kolejności kluczy, więc zapytanie o zakres znajduje pierwszy klucz, a potem idzie wzdłuż liści.

Odpowiedź

D · Wszystkie rekordy są w połączonych liściach, co czyni skanowanie zakresów wydajnym
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 1

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

18 − 1 = 17

Krawędzie do usunięcia

k = 18 − 17 = 1

Odpowiedź

k = 1
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 13

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 6, C: 6
B (6): D: 15, G: 11
C (6): E: 19
G (11): D: 14, E: 12
E (12): F: 13
F (13)
D (14)

Najkrótsza ścieżka

A → B → G → E → F
d(F) = 13

Odpowiedź

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms