Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest zamortyzowana złożoność czasowa dodawania elementu na koniec tablicy dynamicznej, która podwaja swoją pojemność, gdy się zapełni?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie o notacji małego o jest poprawne?

  1. An = o(n²), ale n nie jest o(n)
  2. Bn = o(n), bo każda funkcja jest małym o samej siebie
  3. Cn² = o(n)
  4. D2n = o(n), bo 2n rośnie wolno
3.Struktury danychŚredni

Jak w kolejce cyklicznej przechowywanej w tablicy o pojemności n oblicza się następną pozycję po indeksie i?

  1. A(i + 1) mod n
  2. B2i + 1
  3. Ci + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.Struktury danychTrudny

Które stwierdzenie o sortowaniu przez kopcowanie (heapsort) jest poprawne?

  1. ASortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne
  2. BWymaga binarnego drzewa poszukiwań jako dodatkowej pamięci, więc zużywa O(n) pamięci dodatkowej
  3. CJest stabilne i wymaga O(n) dodatkowej pamięci
  4. DDziała w czasie O(n) dla każdych danych wejściowych
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów zamkniętych o długości 3, które zaczynają się i kończą w B? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 3
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Kopiowanie wszystkich elementów następuje tylko przy potęgach dwójki; po rozłożeniu na wszystkie operacje dodawania średni koszt jednej operacji jest stały.

Odpowiedź

C · O(1)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · n = o(n²), ale n nie jest o(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

f = o(g) oznacza, że f(n) / g(n) dąży do 0; n / n² dąży do 0, ale n / n = 1 nie.

Odpowiedź

A · n = o(n²), ale n nie jest o(n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · (i + 1) mod n

Dlaczego to jest odpowiedź

Operacja modulo zawija indeks n − 1 z powrotem do 0, więc tablica jest wykorzystywana ponownie bez przesuwania elementów.

Odpowiedź

A · (i + 1) mod n
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Sortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne

Dlaczego to jest odpowiedź

Heapsort buduje kopiec maksymalny i n razy wyciąga maksimum w obrębie tej samej tablicy; zamiany na duże odległości mogą zmienić kolejność równych kluczy.

Odpowiedź

A · Sortuje w miejscu w pesymistycznym czasie O(n log n), ale nie jest stabilne
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Wierzchołki nieparzyste

A, B, C, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 2

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Jeszcze jeden krok

(M³)BB = 0·1 + 3·0 + 1·0 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 2

Odpowiedź

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms