Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Który algorytm znajduje najkrótsze ścieżki z jednego źródła w grafie o nieujemnych wagach krawędzi?

  1. AAlgorytm Dijkstry
  2. BPrzeszukiwanie w głąb (DFS)
  3. CWe wszystkich przypadkach wymagany jest algorytm Bellmana–Forda
  4. DAlgorytm Kruskala
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaka jest złożoność czasowa: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) wykonaj pracę O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n √n)
3.Struktury danychŚredni

Aplikacja potrzebuje szybkiego wyszukiwania, a także wypisywania kluczy w kolejności posortowanej i odpowiadania na zapytania o zakres. Która struktura pasuje najlepiej?

  1. ANieposortowana lista wiązana
  2. BStos
  3. CZrównoważone binarne drzewo poszukiwań
  4. DTablica mieszająca
4.Struktury danychTrudny

Która struktura danych umożliwia pamięć podręczną LRU (least recently used) z operacjami get i put w O(1)?

  1. AWyłącznie stos
  2. BMapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową
  3. CPojedyncza posortowana tablica
  4. DWyłącznie binarne drzewo poszukiwań
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K7? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K7
H =
6.Teoria grafówTrudny
912819161845ABCDEF

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Algorytm Dijkstry

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Dijkstry działa dla wag nieujemnych; algorytm Bellmana–Forda obsługuje wagi ujemne; algorytm Kruskala buduje minimalne drzewa rozpinające.

Odpowiedź

A · Algorytm Dijkstry
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Łącznie n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, a liczba harmoniczna Hn to Θ(log n).

Odpowiedź

C · O(n log n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań

Dlaczego to jest odpowiedź

Zrównoważone BST daje wyszukiwanie w O(log n) i utrzymuje klucze w porządku, więc przejście inorder i zapytania o zakres są proste; tablica mieszająca rozprasza klucze.

Odpowiedź

C · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Mapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową

Dlaczego to jest odpowiedź

Mapa mieszająca znajduje węzły w O(1), a lista dwukierunkowa przenosi używane elementy na początek i usuwa elementy z końca w O(1).

Odpowiedź

B · Mapa mieszająca połączona z listą dwukierunkową
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 360

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Odpowiedź

H = 360
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 42

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

EF (4): weź
BE (5): weź
BC (8): weź
AB (9): weź
AC (12): pomiń, zamyka cykl
DE (16): weź

Łączna waga

W = 4 + 5 + 8 + 9 + 16 = 42

Odpowiedź

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms