Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które ograniczenie jest poprawne dla log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n)
3.Struktury danychŚredni

Ile pamięci zajmuje macierz sąsiedztwa grafu o V wierzchołkach?

  1. AO(log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E)
  4. DO(V²)
4.Struktury danychTrudny

Węzeł AVL jest niezrównoważony, bo prawe poddrzewo jego lewego dziecka stało się zbyt wysokie (przypadek lewo-prawo). Jaką naprawę się stosuje?

  1. ARotację w prawo w lewym dziecku, a potem rotację w lewo w węźle
  2. BPojedynczą rotację w prawo w węźle
  3. CPojedynczą rotację w lewo w węźle
  4. DRotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 2× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

2 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
1110213155812ABCDEF

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 5; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 5
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(2ⁿ)

Dlaczego to jest odpowiedź

Liczba wywołań podwaja się na każdym poziomie, a poziomów jest n, więc łącznie jest ich około 2ⁿ, jak w wieżach Hanoi.

Odpowiedź

C · O(2ⁿ)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Θ(n log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

log(n!) ≤ n log n, a n / 2 największych czynników daje log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); dlatego sortowanie przez porównania wymaga Ω(n log n).

Odpowiedź

A · Θ(n log n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz sąsiedztwa przechowuje V × V wpisów, co jest wydajne dla grafów gęstych; listy sąsiedztwa zajmują O(V + E) i lepiej sprawdzają się dla grafów rzadkich.

Odpowiedź

D · O(V²)
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Rotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle

Dlaczego to jest odpowiedź

Pierwsza rotacja zamienia przypadek lewo-prawo w przypadek lewo-lewo, który następnie naprawia rotacja w prawo w niezrównoważonym węźle.

Odpowiedź

D · Rotację w lewo w lewym dziecku, a potem rotację w prawo w węźle
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 15

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 29 = 2(L + 8) − 2
L = 15

Odpowiedź

L = 15

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. BC (2)
2. DF (5)
3. EF (8)
4. AC (10)
5. BE (12)

numer krawędzi 5

BE

Odpowiedź

krawędź BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms