Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego w notacji dużego O zwykle pomija się podstawę logarytmu, jak w O(log n)?

  1. ALogarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
  2. BWszystkie logarytmy w informatyce mają podstawę 10, więc jest ona domyślna
  3. CLogarytmy zawsze zaokrągla się do liczb całkowitych
  4. DPodstawa ma znaczenie tylko dla małych n
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak algorytm Bellmana–Forda wykrywa cykl o ujemnej wadze osiągalny ze źródła?

  1. AUruchamia dwukrotnie algorytm Dijkstry i porównuje oba wyniki odległości
  2. BPo V − 1 rundach sprawdza, czy którąś krawędź można jeszcze zrelaksować
  3. CZlicza cykle za pomocą przeszukiwania w głąb
  4. DSprawdza, czy któraś krawędź ma ujemną wagę
3.Struktury danychŚredni

Ile pamięci zajmuje macierz sąsiedztwa grafu o V wierzchołkach?

  1. AO(V + E)
  2. BO(log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(E)
4.Struktury danychTrudny

Który problem próbkowania liniowego zmniejsza przede wszystkim haszowanie podwójne?

  1. APotrzebę przechowywania kluczy w tablicy
  2. BPotrzebę funkcji mieszającej
  3. CGrupowanie pierwotne (primary clustering), czyli powstawanie długich ciągów zajętych pozycji
  4. DKoszt O(n) odczytu wartości klucza
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 18, liczba krawędzi 28. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 18|E| = 28
k =
6.Teoria grafówTrudny
484595912ABCDEF

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(E) najkrótszej ścieżki z A do E w grafie ważonym.

start: Akoniec: E
d(E) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmiana podstawy mnoży logarytm przez stałą, a duże O pomija stałe czynniki.

Odpowiedź

A · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Po V − 1 rundach sprawdza, czy którąś krawędź można jeszcze zrelaksować

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie rzeczywiste najkrótsze odległości zostają znalezione w ciągu V − 1 rund; jeśli krawędź nadal można poprawić, musi istnieć cykl ujemny.

Odpowiedź

B · Po V − 1 rundach sprawdza, czy którąś krawędź można jeszcze zrelaksować
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Macierz sąsiedztwa przechowuje V × V wpisów, co jest wydajne dla grafów gęstych; listy sąsiedztwa zajmują O(V + E) i lepiej sprawdzają się dla grafów rzadkich.

Odpowiedź

C · O(V²)
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Grupowanie pierwotne (primary clustering), czyli powstawanie długich ciągów zajętych pozycji

Dlaczego to jest odpowiedź

Próbkowanie liniowe przesuwa się o 1, więc ciągi zajętych pozycji rosną i się łączą; haszowanie podwójne używa drugiej funkcji mieszającej do wyznaczenia kroku, więc różne klucze sprawdzają różne sekwencje.

Odpowiedź

C · Grupowanie pierwotne (primary clustering), czyli powstawanie długich ciągów zajętych pozycji
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 11

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

18 − 1 = 17

Krawędzie do usunięcia

k = 28 − 17 = 11

Odpowiedź

k = 11
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(E) = 9

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): C: 4
C (4): B: 12, E: 9
E (9): D: 18, F: 18
B (12): D: 16
D (16)
F (18)

Najkrótsza ścieżka

A → C → E
d(E) = 9

Odpowiedź

d(E) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms