Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest zamortyzowana złożoność czasowa dodawania elementu na koniec tablicy dynamicznej, która podwaja swoją pojemność, gdy się zapełni?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego średni czas wyszukiwania w tablicy mieszającej wynosi O(1), a w najgorszym przypadku O(n)?

  1. AFunkcje skrótu są wolne
  2. BWiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
  3. CKlucze muszą być najpierw posortowane
  4. DDostęp do tablic ma złożoność O(n)
3.Struktury danychŚredni

Kolejkę zaimplementowano za pomocą dwóch stosów: push na stos „in”, a pop ze stosu „out”, który, gdy jest pusty, uzupełnia się ze stosu „in”. Jaki jest zamortyzowany koszt jednej operacji?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
4.Struktury danychTrudny

Drzewo przedziałowe (segment tree) służy zwykle do:

  1. AImplementacji stosu
  2. BOdpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)
  3. CPrzechowywania krawędzi grafu
  4. DAlfabetycznego sortowania napisów przez przechowywanie każdego prefiksu w osobnym węźle drzewa
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
5111921881714ABCDEF

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka D. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3.

start: Dk = 3
  1. 1krawędź AC
  2. 2krawędź BC
  3. 3krawędź BD
  4. 4krawędź CE
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Kopiowanie wszystkich elementów następuje tylko przy potęgach dwójki; po rozłożeniu na wszystkie operacje dodawania średni koszt jednej operacji jest stały.

Odpowiedź

A · O(1)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy dobrej funkcji skrótu i odpowiednim współczynniku zapełnienia kubełki są średnio krótkie; złośliwie dobrane dane lub słaba funkcja skrótu mogą umieścić wszystkie klucze w jednym kubełku.

Odpowiedź

B · Wiele kluczy może kolidować i trafić do tego samego kubełka
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy element jest łącznie co najwyżej dwa razy odkładany i zdejmowany, więc choć jedno uzupełnienie może zająć O(n), średnia w ciągu operacji wynosi O(1).

Odpowiedź

D · O(1)
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Odpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo przedziałowe przechowuje agregaty dla przedziałów, obsługując zapytania o zakresy i aktualizacje punktowe w czasie O(log n).

Odpowiedź

B · Odpowiadania na zapytania o zakresy (np. sumy zakresów) i aktualizacji w O(log n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Cykl Eulera

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

0
Cykl Eulera

Odpowiedź

Cykl Eulera
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź CE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. DF (8)
2. EF (17)
3. CE (2)
4. AC (5)
5. BC (11)

numer krawędzi 3

CE

Odpowiedź

krawędź CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms