Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa standardowego algorytmu programowania dynamicznego dla najdłuższego wspólnego podciągu napisów o długościach m i n?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(mn)
  3. CO(2m+n)
  4. DO(m + n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Problem stopu pokazuje, że:

  1. AKażdy program w końcu się zatrzymuje
  2. BNiektóre programy działają szybciej na szybszych komputerach, więc zatrzymanie zależy od sprzętu
  3. CNależy unikać pętli
  4. DŻaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma
3.Struktury danychŚredni

Bufor cykliczny (ring buffer) jest powszechnie używany do implementacji:

  1. AFunkcji mieszającej
  2. BPrzechodzenia grafu
  3. CKolejki o stałym rozmiarze
  4. DBinarnego drzewa poszukiwań
4.Struktury danychTrudny

Musisz zachować k najmniejszych wartości ze strumienia n liczb, używając O(k) pamięci. Które podejście działa w czasie O(n log k)?

  1. APosortowana tablica wszystkich n wartości
  2. BKopiec minimalny przechowujący wszystkie n wartości, z którego na końcu zdejmuje się k najmniejszych
  3. CKolejka FIFO ostatnich k wartości
  4. DKopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K8? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K8
H =
6.Teoria grafówTrudny
ABCDEF

Ile jest marszów zamkniętych o długości 2, które zaczynają się i kończą w A? Marsz może powtarzać wierzchołki i krawędzie. Nazwij tę liczbę N.

M = macierz sąsiedztwaL = 2
N =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(mn)

Dlaczego to jest odpowiedź

Tablica ma (m + 1)(n + 1) komórek, a każda jest obliczana w O(1) z sąsiednich.

Odpowiedź

B · O(mn)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Żaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma

Dlaczego to jest odpowiedź

Turing wykazał, że problem stopu jest nierozstrzygalny: założenie, że istnieje rozstrzygający go algorytm, prowadzi do sprzeczności z programem, który robi coś przeciwnego.

Odpowiedź

D · Żaden algorytm nie może rozstrzygnąć dla każdego programu i danych wejściowych, czy program się zatrzyma
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Kolejki o stałym rozmiarze

Dlaczego to jest odpowiedź

Bufor cykliczny używa indeksów head i tail, które się zawijają, dając enqueue i dequeue w O(1) przy stałej ilości pamięci.

Odpowiedź

C · Kolejki o stałym rozmiarze
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość

Dlaczego to jest odpowiedź

Korzeń kopca maksymalnego to największa zachowana wartość; każda mniejsza nowa wartość zastępuje go w O(log k), więc kopiec zawsze przechowuje k najmniejszych dotąd wartości.

Odpowiedź

D · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 2520

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Odpowiedź

H = 2520
6.Teoria grafów

Odpowiedź: N = 1

Stopnie: stopień wierzchołka to liczba krawędzi, które się w nim stykają. Każda krawędź ma dwa końce, więc stopnie sumują się do dwukrotności liczby krawędzi: Σ deg(v) = 2|E| (lemat o uściskach dłoni). Liczba wierzchołków o nieparzystym stopniu jest zatem parzysta. Kn ma n(n − 1)/2 krawędzi, graf k-regularny o n wierzchołkach ma nk/2, a drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Macierz sąsiedztwa

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Wspólni sąsiedzi

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 1

Odpowiedź

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms