Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jak algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające?

  1. ASortuje wszystkie krawędzie według wagi i dodaje każdą, o ile nie utworzy cyklu w lesie
  2. BUsuwa najdroższą krawędź, dopóki nie znikną cykle
  3. CRozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa
  4. DUruchamia przeszukiwanie wszerz i zachowuje drzewo BFS
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie o wyborze k-tego najmniejszego elementu nieposortowanej tablicy jest poprawne?

  1. AQuickselect działa w O(log n) w najgorszym przypadku, bo schodzi rekurencyjnie tylko po jednej stronie piwota
  2. BWybór zawsze wymaga Ω(n log n), bo wymaga sortowania
  3. CWybór jest możliwy tylko w O(n²)
  4. DQuickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku
3.Struktury danychŚredni

Bufor cykliczny (ring buffer) jest powszechnie używany do implementacji:

  1. APrzechodzenia grafu
  2. BBinarnego drzewa poszukiwań
  3. CKolejki o stałym rozmiarze
  4. DFunkcji mieszającej
4.Struktury danychTrudny

Obiekt jest przechowywany jako klucz w mapie mieszającej, a następnie zmienia się pole używane przez jego funkcję mieszającą. Jaki jest prawdopodobny skutek?

  1. AWyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
  2. BNic się nie zmienia, bo skrót klucza oblicza się tylko raz przy uruchomieniu programu
  3. CMapa zgłasza błąd w chwili zmiany pola
  4. DMapa automatycznie przenosi klucz do nowego kubełka
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFGCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
13181116451583ABCDEF

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Rozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Prima z kolejką priorytetową krawędzi przekrojowych działa w czasie O(E log V) przy kopcu binarnym.

Odpowiedź

C · Rozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Quickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku

Dlaczego to jest odpowiedź

Oczekiwana praca quickselecta to n + n/2 + n/4 + ... = O(n) przy losowych elementach osiowych; wybór elementu osiowego jako mediany median daje liniowy najgorszy przypadek.

Odpowiedź

D · Quickselect działa w oczekiwanym czasie O(n), a mediana median gwarantuje O(n) w najgorszym przypadku
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Kolejki o stałym rozmiarze

Dlaczego to jest odpowiedź

Bufor cykliczny używa indeksów head i tail, które się zawijają, dając enqueue i dequeue w O(1) przy stałej ilości pamięci.

Odpowiedź

C · Kolejki o stałym rozmiarze
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu

Dlaczego to jest odpowiedź

Położenie klucza wybrano na podstawie jego starego skrótu; przy nowym skrócie wyszukiwanie przeszukuje niewłaściwy kubełek, więc klucze powinny być niezmienne.

Odpowiedź

A · Wyszukanie obiektu może się nie powieść, bo leży on w kubełku dla starego skrótu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Wierzchołki nieparzyste

B, D, F, G → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 33

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BE (3): weź
CE (4): weź
DE (5): weź
EF (8): weź
BC (11): pomiń, zamyka cykl
AB (13): weź

Łączna waga

W = 3 + 4 + 5 + 8 + 13 = 33

Odpowiedź

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms