Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest złożoność czasowa algorytmu Bellmana–Forda dla grafu o V wierzchołkach i E krawędziach?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dla którego wariantu problemu plecakowego reguła zachłanna „bierz przedmioty według wartości na jednostkę wagi" zawsze daje optymalną odpowiedź?

  1. AObu wariantów
  2. BŻadnego z wariantów
  3. CCiągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
  4. DDyskretnego problemu plecakowego 0/1, w którym przedmioty zawsze trzeba brać w całości
3.Struktury danychŚredni

Którego abstrakcyjnego typu danych używa algorytm Dijkstry do wyboru następnego wierzchołka do przetworzenia?

  1. AKolejki priorytetowej typu min
  2. BZbioru bez uporządkowania
  3. CKolejki FIFO
  4. DStosu
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego ze standardowego filtru Blooma nie można po prostu usuwać elementów przez zerowanie ich bitów?

  1. AFiltry Blooma przechowują całe elementy, których po zahaszowaniu nie da się ponownie zlokalizować
  2. BTe bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne
  3. CUsuwanie zwiększyłoby odsetek wyników fałszywie pozytywnych do 100%
  4. DBitów w filtrze Blooma nie można zmieniać po jego utworzeniu
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 5, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 5
L =
6.Teoria grafówTrudny
711410201159ABCDEF

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka F. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3.

start: Fk = 3
  1. 1krawędź AC
  2. 2krawędź BC
  3. 3krawędź BD
  4. 4krawędź CE
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(V × E)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każda z V − 1 rund relaksuje wszystkie E krawędzi, co daje O(VE); w zamian algorytm obsługuje ujemne wagi krawędzi.

Odpowiedź

B · O(V × E)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy przedmioty można dzielić, wybór najpierw najlepszego stosunku jest optymalny; w problemie 0/1 przedmiot o wysokim stosunku może zablokować lepszą kombinację, więc potrzebne jest programowanie dynamiczne.

Odpowiedź

C · Ciągłego (ułamkowego) problemu plecakowego, w którym przedmioty można dzielić
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Kolejki priorytetowej typu min

Dlaczego to jest odpowiedź

Kolejka priorytetowa typu min, zwykle kopiec binarny, wydajnie zwraca nieodwiedzony wierzchołek o najmniejszej odległości.

Odpowiedź

A · Kolejki priorytetowej typu min
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne

Dlaczego to jest odpowiedź

Wyzerowanie wspólnego bitu sprawiłoby, że inny element wyglądałby na nieobecny; zliczające filtry Blooma przechowują liczniki zamiast bitów, by umożliwić usuwanie.

Odpowiedź

B · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 11

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 15 = 2(L + 3) − 2
L = 11

Odpowiedź

L = 11

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BC

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. EF (5)
2. BE (9)
3. BC (1)
4. AC (7)
5. DF (11)

numer krawędzi 3

BC

Odpowiedź

krawędź BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms