Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Quicksort zawsze używa pierwszego elementu jako elementu osiowego. Dla jakich danych wykazuje zachowanie pesymistyczne?

  1. ADla tablicy już posortowanej
  2. BDla tablicy o długości 2
  3. CDla tablicy, w której wszystkie elementy są różne
  4. DDla tablicy w losowej kolejności
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Sortowanie przez wstawianie działa w O(n) dla danych posortowanych. Czy to przeczy dolnemu ograniczeniu Ω(n log n) dla sortowania przez porównania?

  1. ATak, ale tylko dla tablic krótszych niż 100
  2. BTak, więc dolne ograniczenie jest błędne
  3. CNie, bo sortowanie przez wstawianie nie jest sortowaniem przez porównania
  4. DNie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych
3.Struktury danychŚredni

Bufor cykliczny (ring buffer) jest powszechnie używany do implementacji:

  1. ABinarnego drzewa poszukiwań
  2. BKolejki o stałym rozmiarze
  3. CFunkcji mieszającej
  4. DPrzechodzenia grafu
4.Struktury danychTrudny

Które operacje w O(log n) obsługuje drzewo Fenwicka (binary indexed tree) zbudowane nad tablicą n liczb?

  1. AZapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
  2. BZnajdowanie mediany w O(1)
  3. CSortowanie tablicy i wyszukiwanie binarne
  4. DWstawianie elementów na dowolnej pozycji
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K5? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K5
H =
6.Teoria grafówTrudny
7313352410ABCDEF

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 4; sam A to runda 1.

start: Arunda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Dla tablicy już posortowanej

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla danych posortowanych element osiowy jest zawsze minimum, więc jedna strona jest pusta, a druga ma n − 1 elementów, co daje O(n²).

Odpowiedź

A · Dla tablicy już posortowanej
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Nie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych

Dlaczego to jest odpowiedź

Ograniczenie mówi, że każde sortowanie przez porównania wymaga około n log n porównań dla pewnych danych rozmiaru n; szczególne dane mogą być przetwarzane znacznie szybciej.

Odpowiedź

D · Nie, dolne ograniczenie dotyczy najgorszego przypadku po wszystkich danych, a nie każdych danych
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Kolejki o stałym rozmiarze

Dlaczego to jest odpowiedź

Bufor cykliczny używa indeksów head i tail, które się zawijają, dając enqueue i dequeue w O(1) przy stałej ilości pamięci.

Odpowiedź

B · Kolejki o stałym rozmiarze
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów

Dlaczego to jest odpowiedź

Drzewo Fenwicka przechowuje sumy częściowe w zakresach wyznaczonych przez młodsze bity każdego indeksu, więc zarówno sumy prefiksowe, jak i aktualizacje punktowe zajmują O(log n).

Odpowiedź

A · Zapytania o sumy prefiksowe i aktualizacje pojedynczych elementów
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 12

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Odpowiedź

H = 12
6.Teoria grafów

Odpowiedź: E

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 7, C: 3
2. C (3): E: 8
3. B (7): D: 10
4. E (8): F: 12
5. D (10)
6. F (12)

runda 4

E

Odpowiedź

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms