Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego wiele bibliotecznych procedur sortowania przełącza się na sortowanie przez wstawianie dla bardzo małych podtablic?

  1. ASortowanie przez wstawianie jest O(n log n) w najgorszym przypadku
  2. BSortowanie przez wstawianie ma mały narzut i jest szybkie dla małych lub prawie posortowanych danych
  3. CSortowanie przez wstawianie zużywa mniej pamięci niż każdy inny algorytm sortowania dla dużych danych
  4. DAlgorytmy rekurencyjne nie radzą sobie z tablicami poniżej 10 elementów
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak klasyfikuje się problem komiwojażera?

  1. ANależy do P, bo rozwiązuje go algorytm Dijkstry, odwiedzając każde miasto raz
  2. BWersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
  3. CWersja decyzyjna należy do P, a wersja optymalizacyjna jest NP-zupełna
  4. DJest nierozstrzygalny
3.Struktury danychŚredni

Tablica mieszająca o rozmiarze 7 używa h(k) = k mod 7 i próbkowania liniowego. Gdzie zostanie zapisane 17 po wstawieniu 10?

  1. APod indeksem 6
  2. BPod indeksem 3
  3. CPod indeksem 4
  4. DPod indeksem 0
4.Struktury danychTrudny

Jak wykryć, czy lista jednokierunkowa zawiera cykl, używając O(1) dodatkowej pamięci?

  1. APosortować listę i szukać duplikatów
  2. BPrzesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają
  3. CLiczyć węzły, aż liczba przekroczy pole z długością listy
  4. DZapisywać każdy odwiedzony węzeł w zbiorze mieszającym
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 18, liczba krawędzi 23. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 18|E| = 23
k =
6.Teoria grafówTrudny
127551561398ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(D) najkrótszej ścieżki z A do D w grafie ważonym.

start: Akoniec: D
d(D) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Sortowanie przez wstawianie ma mały narzut i jest szybkie dla małych lub prawie posortowanych danych

Dlaczego to jest odpowiedź

Dla małych n prosta pętla sortowania przez wstawianie jest szybsza niż narzut rekurencji quicksorta czy sortowania przez scalanie, choć jest O(n²).

Odpowiedź

B · Sortowanie przez wstawianie ma mały narzut i jest szybkie dla małych lub prawie posortowanych danych
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna

Dlaczego to jest odpowiedź

„Czy istnieje trasa o długości najwyżej k?" jest NP-zupełne; znalezienie najkrótszej trasy jest NP-trudne, bo jest co najmniej tak trudne.

Odpowiedź

B · Wersja decyzyjna jest NP-zupełna, a wersja optymalizacyjna NP-trudna
3.Struktury danych

Odpowiedź: C · Pod indeksem 4

Dlaczego to jest odpowiedź

10 mod 7 = 3 i 17 mod 7 = 3; indeks 3 jest zajęty, więc próbkowanie liniowe sprawdza następną pozycję, indeks 4.

Odpowiedź

C · Pod indeksem 4
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Przesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają

Dlaczego to jest odpowiedź

W algorytmie Floyda, jeśli jest cykl, szybki wskaźnik w końcu dogania wolny; w przeciwnym razie szybki wskaźnik dochodzi do null.

Odpowiedź

B · Przesuwać jeden wskaźnik o jeden krok, a drugi o dwa i sprawdzać, czy się spotkają
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 6

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

18 − 1 = 17

Krawędzie do usunięcia

k = 23 − 17 = 6

Odpowiedź

k = 6
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(D) = 8

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 1, C: 2
B (1): D: 8, G: 7
C (2): E: 7
E (7): F: 22
G (7)
D (8): F: 13
F (13)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D
d(D) = 8

Odpowiedź

d(D) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms