Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jakie jest rozwiązanie rekurencji T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie dotyczące P i NP jest prawdziwe?

  1. ARozwiązań problemów NP nie da się szybko zweryfikować
  2. BKażdy problem z klasy P należy również do NP
  3. CNP oznacza „niewielomianowy” (not polynomial)
  4. DUdowodniono, że P ≠ NP
3.Struktury danychŚredni

Bufor cykliczny (ring buffer) jest powszechnie używany do implementacji:

  1. AKolejki o stałym rozmiarze
  2. BBinarnego drzewa poszukiwań
  3. CFunkcji mieszającej
  4. DPrzechodzenia grafu
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest koszt czasowy i dodatkowy pamięciowy odwrócenia listy jednokierunkowej w miejscu?

  1. ACzas O(n log n) i dodatkowa pamięć O(1)
  2. BCzas O(n) i dodatkowa pamięć O(n)
  3. CCzas O(1) i dodatkowa pamięć O(1)
  4. DCzas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K8? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K8
H =
6.Teoria grafówTrudny
131114513111121515ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(G) najkrótszej ścieżki z A do G w grafie ważonym.

start: Akoniec: G
d(G) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Z twierdzenia o rekurencji uniwersalnej nlog₂ 2 = n dominuje nad stałą pracą, więc T(n) = Θ(n), jak przy szukaniu maksimum przez dzielenie na połowy.

Odpowiedź

C · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Każdy problem z klasy P należy również do NP

Dlaczego to jest odpowiedź

P ⊆ NP: jeśli potrafisz szybko rozwiązać problem, potrafisz też szybko zweryfikować rozwiązanie. Pytanie, czy P = NP, wciąż pozostaje otwarte.

Odpowiedź

B · Każdy problem z klasy P należy również do NP
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Kolejki o stałym rozmiarze

Dlaczego to jest odpowiedź

Bufor cykliczny używa indeksów head i tail, które się zawijają, dając enqueue i dequeue w O(1) przy stałej ilości pamięci.

Odpowiedź

A · Kolejki o stałym rozmiarze
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Czas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Utrzymywanie trzech wskaźników (poprzedni, bieżący, następny) pozwala odwrócić każde połączenie w jednym przebiegu bez alokowania nowych węzłów.

Odpowiedź

D · Czas O(n) i dodatkowa pamięć O(1)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 2520

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Odpowiedź

H = 2520
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(G) = 28

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 13, C: 11
C (11): E: 24
B (13): D: 18, G: 28
D (18): F: 29
E (24): F: 26
F (26)
G (28)

Najkrótsza ścieżka

A → B → G
d(G) = 28

Odpowiedź

d(G) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms