Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest pesymistyczna złożoność czasowa sortowania szybkiego (quicksort)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Który algorytm znajduje minimalne drzewo rozpinające, wielokrotnie dodając najtańszą krawędź, która nie tworzy cyklu?

  1. AAlgorytm Floyda–Warshalla
  2. BAlgorytm Prima startujący z jednego wierzchołka
  3. CAlgorytm Kruskala
  4. DAlgorytm Dijkstry
3.Struktury danychŚredni

Którego abstrakcyjnego typu danych używa algorytm Dijkstry do wyboru następnego wierzchołka do przetworzenia?

  1. AZbioru bez uporządkowania
  2. BStosu
  3. CKolejki FIFO
  4. DKolejki priorytetowej typu min
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest oczekiwany czas wyszukiwania przy prostym równomiernym haszowaniu w tablicy mieszającej z metodą łańcuchową, n kluczami i m kubełkami?

  1. AO(m)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1 + α), gdzie α = n / m
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
19161189126ABCDE

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy konsekwentnie złych pivotach (np. dane już posortowane i pierwszy element jako pivot) podziały są niezrównoważone, co daje O(n²). Przypadek średni to O(n log n).

Odpowiedź

B · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Algorytm Kruskala

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Kruskala sortuje krawędzie według wag i dodaje je, jeśli łączą różne składowe; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego.

Odpowiedź

C · Algorytm Kruskala
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Kolejki priorytetowej typu min

Dlaczego to jest odpowiedź

Kolejka priorytetowa typu min, zwykle kopiec binarny, wydajnie zwraca nieodwiedzony wierzchołek o najmniejszej odległości.

Odpowiedź

D · Kolejki priorytetowej typu min
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(1 + α), gdzie α = n / m

Dlaczego to jest odpowiedź

Obliczenie funkcji mieszającej kosztuje O(1), a oczekiwana długość łańcucha to α, więc utrzymywanie ograniczonego α przez zmianę rozmiaru daje oczekiwany czas O(1).

Odpowiedź

D · O(1 + α), gdzie α = n / m
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

D, E → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 35

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

BC (1): weź
BE (6): weź
CE (9): pomiń, zamyka cykl
DE (12): weź
AC (16): weź

Łączna waga

W = 1 + 6 + 12 + 16 = 35

Odpowiedź

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms