Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest zamortyzowana złożoność czasowa dodawania elementu na koniec tablicy dynamicznej, która podwaja swoją pojemność, gdy się zapełni?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Czym różni się problem nierozstrzygalny od problemu praktycznie nierozwiązywalnego?

  1. AOba oznaczają, że problem w ogóle nie ma algorytmu
  2. BProblem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny
  3. CProblemów praktycznie nierozwiązywalnych nie rozwiąże żaden algorytm, a nierozstrzygalne wymagają tylko czasu wykładniczego
  4. DProblemy nierozstrzygalne należą do NP, a praktycznie nierozwiązywalne do P
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest maksymalny możliwy współczynnik zapełnienia tablicy mieszającej z adresowaniem otwartym?

  1. A2
  2. B1
  3. C0,5
  4. DNie ma maksimum
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego serwer może losowo wybierać funkcję mieszającą z rodziny uniwersalnej?

  1. ABy wyeliminować potrzebę zmiany rozmiaru tablicy
  2. BBy tablica mieszająca była posortowana
  3. CBy było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują
  4. DBy zagwarantować, że żadne dwa klucze nigdy nie będą kolidować, jakie klucze by nie wysłał atakujący
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K8? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K8
H =
6.Teoria grafówTrudny
9166711115ABCDE

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka C. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 3.

start: Ck = 3
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź BE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Kopiowanie wszystkich elementów następuje tylko przy potęgach dwójki; po rozłożeniu na wszystkie operacje dodawania średni koszt jednej operacji jest stały.

Odpowiedź

B · O(1)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Problem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny

Dlaczego to jest odpowiedź

Problem stopu nie ma żadnego algorytmu; problem NP-trudny, taki jak TSP, można rozwiązać siłą brutalną, tylko nie w znanym czasie wielomianowym.

Odpowiedź

B · Problem nierozstrzygalny nie ma algorytmu dla wszystkich danych; praktycznie nierozwiązywalny ma, ale jest zbyt wolny
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy adresowaniu otwartym wszystkie klucze przechowuje się w samej tablicy, więc n nie może przekroczyć m; przy metodzie łańcuchowej współczynnik może być większy od 1.

Odpowiedź

B · 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · By było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy haszowaniu uniwersalnym oczekiwana liczba kolizji jest mała dla dowolnego zbioru kluczy, bo atakujący nie wie, którą funkcję wybrano.

Odpowiedź

C · By było bardzo mało prawdopodobne, że atakujący dobierze wiele kluczy, które wszystkie kolidują
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 2520

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Odpowiedź

H = 2520
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź DE

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. BC (6)
2. BD (7)
3. DE (1)
4. AB (9)

numer krawędzi 3

DE

Odpowiedź

krawędź DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms