Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego w notacji dużego O zwykle pomija się podstawę logarytmu, jak w O(log n)?

  1. ALogarytmy zawsze zaokrągla się do liczb całkowitych
  2. BWszystkie logarytmy w informatyce mają podstawę 10, więc jest ona domyślna
  3. CPodstawa ma znaczenie tylko dla małych n
  4. DLogarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jak algorytm Bellmana–Forda wykrywa cykl o ujemnej wadze osiągalny ze źródła?

  1. AZlicza cykle za pomocą przeszukiwania w głąb
  2. BSprawdza, czy któraś krawędź ma ujemną wagę
  3. CPo V − 1 rundach sprawdza, czy którąś krawędź można jeszcze zrelaksować
  4. DUruchamia dwukrotnie algorytm Dijkstry i porównuje oba wyniki odległości
3.Struktury danychŚredni

Której struktury danych używa się, by sprawdzić, czy nawiasy w „{[()]}” są zrównoważone?

  1. ATablicy mieszającej
  2. BKolejki
  3. CBinarnego drzewa poszukiwań
  4. DStosu
4.Struktury danychTrudny

Która struktura pozwala obliczyć maksimum każdego okna o rozmiarze k w tablicy w łącznym czasie O(n)?

  1. APosortowana tablica aktualizowana przez przesuwanie
  2. BLista jednokierunkowa elementów okna
  3. CDeque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości
  4. DKopiec minimalny budowany od nowa dla każdego okna
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 4× wierzchołek stopnia 3, 3× wierzchołek stopnia 5, 2× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

4 × deg 33 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
4108113611714ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(F) najkrótszej ścieżki z A do F w grafie ważonym.

start: Akoniec: F
d(F) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem

Dlaczego to jest odpowiedź

Zmiana podstawy mnoży logarytm przez stałą, a duże O pomija stałe czynniki.

Odpowiedź

D · Logarytmy o różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Po V − 1 rundach sprawdza, czy którąś krawędź można jeszcze zrelaksować

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie rzeczywiste najkrótsze odległości zostają znalezione w ciągu V − 1 rund; jeśli krawędź nadal można poprawić, musi istnieć cykl ujemny.

Odpowiedź

C · Po V − 1 rundach sprawdza, czy którąś krawędź można jeszcze zrelaksować
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Stosu

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy nawias otwierający odkłada się na stos (push), a przy nawiasie zamykającym zdejmuje (pop); musi pasować do zdjętego nawiasu, a na końcu stos musi być pusty.

Odpowiedź

D · Stosu
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Deque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości

Dlaczego to jest odpowiedź

Początek deque jest zawsze maksimum okna; każdy indeks raz do niej wchodzi i raz z niej wychodzi, więc praca jest liniowa.

Odpowiedź

C · Deque przechowująca indeksy w kolejności malejących wartości
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 15

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 31 = 2(L + 9) − 2
L = 15

Odpowiedź

L = 15

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(F) = 18

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 4
B (4): C: 14, D: 12, G: 15
D (12): E: 25, F: 18
C (14): E: 15
E (15)
G (15)
F (18)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → F
d(F) = 18

Odpowiedź

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms