Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Algorytm zachłanny:

  1. AW każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru
  2. BZawsze daje rozwiązanie optymalne
  3. CUżywa wyłącznie rekurencji
  4. DSprawdza każde możliwe rozwiązanie
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dyskretny problem plecakowy (0/1) rozwiązany programowaniem dynamicznym zajmuje czas O(nW). Dlaczego nazywa się to złożonością pseudowielomianową?

  1. APonieważ n jest zawsze małe
  2. BPonieważ działa tylko dla W = 0
  3. CPonieważ algorytm jest randomizowany, a jego czas działania zmienia się przy każdych danych
  4. DW jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W
3.Struktury danychŚredni

Aplikacja potrzebuje szybkiego wyszukiwania, a także wypisywania kluczy w kolejności posortowanej i odpowiadania na zapytania o zakres. Która struktura pasuje najlepiej?

  1. ATablica mieszająca
  2. BNieposortowana lista wiązana
  3. CStos
  4. DZrównoważone binarne drzewo poszukiwań
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego ze standardowego filtru Blooma nie można po prostu usuwać elementów przez zerowanie ich bitów?

  1. AUsuwanie zwiększyłoby odsetek wyników fałszywie pozytywnych do 100%
  2. BFiltry Blooma przechowują całe elementy, których po zahaszowaniu nie da się ponownie zlokalizować
  3. CBitów w filtrze Blooma nie można zmieniać po jego utworzeniu
  4. DTe bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
1710520215148412ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · W każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytmy zachłanne są szybkie i dla niektórych problemów optymalne (np. algorytm Dijkstry, kodowanie Huffmana), ale nie w ogólności (np. wydawanie reszty przy niektórych systemach monet).

Odpowiedź

A · W każdym kroku dokonuje lokalnie najlepszego wyboru
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · W jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W

Dlaczego to jest odpowiedź

Czas działania jest wielomianowy względem wartości W, ale wykładniczy względem jej długości (log W bitów); dyskretny problem plecakowy jest NP-zupełny.

Odpowiedź

D · W jest liczbą, więc czas jest wykładniczy względem liczby bitów użytych do zapisania W
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań

Dlaczego to jest odpowiedź

Zrównoważone BST daje wyszukiwanie w O(log n) i utrzymuje klucze w porządku, więc przejście inorder i zapytania o zakres są proste; tablica mieszająca rozprasza klucze.

Odpowiedź

D · Zrównoważone binarne drzewo poszukiwań
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne

Dlaczego to jest odpowiedź

Wyzerowanie wspólnego bitu sprawiłoby, że inny element wyglądałby na nieobecny; zliczające filtry Blooma przechowują liczniki zamiast bitów, by umożliwić usuwanie.

Odpowiedź

D · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Wierzchołki nieparzyste

B, C, E, F → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 46

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

DF (2): weź
GD (4): weź
CE (5): weź
GC (8): weź
BC (10): weź
GE (12): pomiń, zamyka cykl
GB (14): pomiń, zamyka cykl
EF (15): pomiń, zamyka cykl
AB (17): weź

Łączna waga

W = 2 + 4 + 5 + 8 + 10 + 17 = 46

Odpowiedź

W = 46

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms