Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest pesymistyczna złożoność czasowa sortowania szybkiego (quicksort)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Czy 22n należy do O(2ⁿ)?

  1. ATak, bo obie funkcje są wykładnicze
  2. BNie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie
  3. CNie, bo 22n rośnie wolniej niż 2ⁿ
  4. DTak, bo stałe czynniki w wykładniku zawsze się pomija w notacji dużego O
3.Struktury danychŚredni

Jak w kolejce cyklicznej przechowywanej w tablicy o pojemności n oblicza się następną pozycję po indeksie i?

  1. Ai + 1
  2. B(i + 1) mod n
  3. C2i + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.Struktury danychTrudny

Która para przejść zawsze jednoznacznie wyznacza drzewo binarne o różnych kluczach?

  1. APreorder i postorder
  2. BSam preorder
  3. CSamo przejście poziomami
  4. DPreorder i inorder
5.Teoria grafówŚredni

Graf spójny: liczba wierzchołków 9, liczba krawędzi 17. Ile krawędzi k trzeba usunąć, aby zostało drzewo rozpinające?

|V| = 9|E| = 17
k =
6.Teoria grafówTrudny
1910121811311ABCDE

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy konsekwentnie złych pivotach (np. dane już posortowane i pierwszy element jako pivot) podziały są niezrównoważone, co daje O(n²). Przypadek średni to O(n log n).

Odpowiedź

A · O(n²)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Nie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie

Dlaczego to jest odpowiedź

Stała dodana do wykładnika daje stały czynnik, ale stała mnożąca wykładnik zmienia podstawę i tempo wzrostu.

Odpowiedź

B · Nie, bo 22n = 4ⁿ, a 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ rośnie nieograniczenie
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · (i + 1) mod n

Dlaczego to jest odpowiedź

Operacja modulo zawija indeks n − 1 z powrotem do 0, więc tablica jest wykorzystywana ponownie bez przesuwania elementów.

Odpowiedź

B · (i + 1) mod n
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Preorder i inorder

Dlaczego to jest odpowiedź

Preorder daje korzeń, a jego pozycja w ciągu inorder rozdziela lewe i prawe poddrzewo; preorder z postorder jest niejednoznaczne, gdy węzeł ma jedno dziecko.

Odpowiedź

D · Preorder i inorder
5.Teoria grafów

Odpowiedź: k = 9

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Krawędzie drzewa rozpinającego

9 − 1 = 8

Krawędzie do usunięcia

k = 17 − 8 = 9

Odpowiedź

k = 9
6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 35

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

CE (1): weź
AC (10): weź
BE (11): weź
BC (12): pomiń, zamyka cykl
DE (13): weź

Łączna waga

W = 1 + 10 + 11 + 13 = 35

Odpowiedź

W = 35

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms