Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

W posortowanej tablicy szukasz dwóch elementów o sumie równej celowi, przesuwając po jednym wskaźniku z każdego końca do środka. Jaka jest złożoność czasowa?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Algorytm Strassena mnoży macierze, używając 7 zamiast 8 rekurencyjnych mnożeń bloków o połowie rozmiaru. Jaki jest jego czas działania?

  1. AΘ(nlog₂ 7), około n2,81
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n² log n)
3.Struktury danychŚredni

Ile węzłów ma doskonałe drzewo binarne o wysokości h, gdy wysokość liczy się w krawędziach?

  1. A2h
  2. B2h+1 − 1
  3. C2h + 1
  4. Dh2
4.Struktury danychTrudny

Złożoność czasowa operacji decrease-key w kopcu binarnym (przy znanej pozycji elementu) wynosi:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K8? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K8
H =
6.Teoria grafówTrudny
134125113271415ABCDEFG

Algorytm Dijkstry rusza z A. Kliknij wierzchołek zatwierdzony (uczyniony stałym) w rundzie 4; sam A to runda 1.

start: Arunda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy suma jest za mała, lewy wskaźnik przesuwa się w prawo, gdy za duża, prawy w lewo, więc kroków jest najwyżej n.

Odpowiedź

A · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Θ(nlog₂ 7), około n2,81

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy a = 7 i b = 2 nlog₂ 7 dominuje nad pracą O(n²) na dodawania, co daje około n2,81.

Odpowiedź

A · Θ(nlog₂ 7), około n2,81
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · 2h+1 − 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Suma 1 + 2 + 4 + ... + 2h daje 2h+1 − 1; np. wysokość 2 daje 7 węzłów.

Odpowiedź

B · 2h+1 − 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · O(log n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Po zmniejszeniu klucza element przesuwa się w górę co najwyżej o wysokość kopca. Kopce Fibonacciego osiągają zamortyzowane decrease-key w O(1).

Odpowiedź

C · O(log n)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 2520

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Odpowiedź

H = 2520
6.Teoria grafów

Odpowiedź: F

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

1. A (0): B: 13, C: 4
2. C (4): E: 5, G: 19
3. E (5): D: 18, F: 12
4. F (12): D: 14
5. B (13)
6. D (14)
7. G (19)

runda 4

F

Odpowiedź

F

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms