Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Ile mniej więcej porównań potrzebuje wyszukiwanie binarne w najgorszym przypadku w posortowanej tablicy 1,000,000 elementów?

  1. AOkoło 500,000
  2. BOkoło 1,000
  3. COkoło 20
  4. DOkoło 100
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Które stwierdzenie o notacji małego o jest poprawne?

  1. An = o(n²), ale n nie jest o(n)
  2. Bn² = o(n)
  3. Cn = o(n), bo każda funkcja jest małym o samej siebie
  4. D2n = o(n), bo 2n rośnie wolno
3.Struktury danychŚredni

Jak wstawia się nowy element do kopca binarnego?

  1. ABuduje się cały kopiec od nowa
  2. BWstawia się go na właściwą posortowaną pozycję, przesuwając o jedno miejsce w prawo wszystkie większe elementy
  3. CUmieszcza się go w korzeniu i przesuwa w dół
  4. DUmieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca
4.Struktury danychTrudny

Którą własność musi spełniać drzewo czerwono-czarne?

  1. AKażdy węzeł musi być czerwony
  2. BKażdy czerwony węzeł musi mieć czerwone dzieci, więc czerwone węzły zawsze tworzą nieprzerwane łańcuchy aż do liści
  3. CKorzeń musi być czerwony
  4. DKażda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K4? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K4
H =
6.Teoria grafówTrudny
3513211426ABCDEFG

Użyj algorytmu Dijkstry, aby znaleźć długość d(G) najkrótszej ścieżki z A do G w grafie ważonym.

start: Akoniec: G
d(G) =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Około 20

Dlaczego to jest odpowiedź

220 ≈ 1,048,576, więc po około 20 połowieniach zostaje tylko jeden element.

Odpowiedź

C · Około 20
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · n = o(n²), ale n nie jest o(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

f = o(g) oznacza, że f(n) / g(n) dąży do 0; n / n² dąży do 0, ale n / n = 1 nie.

Odpowiedź

A · n = o(n²), ale n nie jest o(n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · Umieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca

Dlaczego to jest odpowiedź

Dodanie na końcu zachowuje zupełność drzewa; zamiany z rodzicem przywracają porządek w O(log n) krokach.

Odpowiedź

D · Umieszcza się go na końcu tablicy i przesuwa w górę, dopóki narusza własność kopca
4.Struktury danych

Odpowiedź: D · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów

Dlaczego to jest odpowiedź

Zasady drzewa czerwono-czarnego: węzły są czerwone lub czarne, korzeń jest czarny, czerwone węzły mają czarne dzieci, a wszystkie ścieżki mają równą czarną wysokość, co utrzymuje wysokość ≤ 2 log₂(n + 1).

Odpowiedź

D · Każda ścieżka od węzła do jego liści potomnych zawiera tyle samo czarnych węzłów
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 3

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Odpowiedź

H = 3
6.Teoria grafów

Odpowiedź: d(G) = 12

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Dijkstry runda po rundzie

Każdy wiersz: zatwierdzony wierzchołek, jego ostateczna odległość oraz sąsiedzi, których odległość się poprawia.

A (0): B: 3, C: 5
B (3): C: 4, D: 6
C (4): E: 6
D (6): F: 10, G: 12
E (6): F: 8
F (8)
G (12)

Najkrótsza ścieżka

A → B → D → G
d(G) = 12

Odpowiedź

d(G) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms