Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jak algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające?

  1. AUsuwa najdroższą krawędź, dopóki nie znikną cykle
  2. BSortuje wszystkie krawędzie według wagi i dodaje każdą, o ile nie utworzy cyklu w lesie
  3. CRozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa
  4. DUruchamia przeszukiwanie wszerz i zachowuje drzewo BFS
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego każde wyszukiwanie oparte na porównaniach w posortowanej tablicy wymaga w najgorszym przypadku Ω(log n) porównań?

  1. AKażde porównanie zajmuje czas logarytmiczny
  2. BKażdy element musi być porównany co najmniej raz
  3. CWyszukiwanie binarne jest jedynym możliwym algorytmem i wymaga log₂ n porównań
  4. DDrzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n
3.Struktury danychŚredni

Dlaczego przechodzenie tablicy jest w praktyce często znacznie szybsze niż przechodzenie listy wiązanej o tej samej długości?

  1. AElementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora
  2. BPrzejście tablicy ma łącznie złożoność O(1), a listy wiązanej O(n)
  3. CListy wiązane zawsze przechowują elementy na dysku
  4. DTablice wymagają mniej instrukcji do porównania wartości
4.Struktury danychTrudny

Która własność sprawia, że każde B-drzewo jest idealnie zrównoważone?

  1. AWszystkie liście są na tej samej głębokości
  2. BKażdy węzeł przechowuje jeden klucz
  3. CKlucze są przechowywane tylko w korzeniu
  4. DKażdy węzeł ma dokładnie dwoje dzieci
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 3, 3× wierzchołek stopnia 4, 3× wierzchołek stopnia 5, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 33 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
1469195121820ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Rozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa

Dlaczego to jest odpowiedź

Algorytm Prima z kolejką priorytetową krawędzi przekrojowych działa w czasie O(E log V) przy kopcu binarnym.

Odpowiedź

C · Rozrasta jedno drzewo od wierzchołka startowego, dodając najtańszą krawędź wychodzącą z drzewa
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Drzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n

Dlaczego to jest odpowiedź

Każde porównanie co najwyżej o połowę zmniejsza zbiór pozostałych możliwości, więc rozróżnienie n pozycji wymaga co najmniej log₂ n porównań.

Odpowiedź

D · Drzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Elementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora

Dlaczego to jest odpowiedź

Ciągła pamięć zapewnia dobrą lokalność odwołań, a połączone węzły mogą być rozproszone i powodować wiele chybień w pamięci podręcznej.

Odpowiedź

A · Elementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora
4.Struktury danych

Odpowiedź: A · Wszystkie liście są na tej samej głębokości

Dlaczego to jest odpowiedź

Pełne węzły dzielą się w górę, a drzewo staje się wyższe tylko przy podziale korzenia, więc wszystkie liście zawsze pozostają na tym samym poziomie.

Odpowiedź

A · Wszystkie liście są na tej samej głębokości
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 20

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 42 = 2(L + 12) − 2
L = 20

Odpowiedź

L = 20

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 53

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

GC (1): weź
EF (5): weź
BC (6): weź
GD (8): weź
BD (9): pomiń, zamyka cykl
GB (12): pomiń, zamyka cykl
AB (14): weź
DE (19): weź

Łączna waga

W = 1 + 5 + 6 + 8 + 14 + 19 = 53

Odpowiedź

W = 53

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms