Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

W posortowanej tablicy szukasz dwóch elementów o sumie równej celowi, przesuwając po jednym wskaźniku z każdego końca do środka. Jaka jest złożoność czasowa?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Algorytm Strassena mnoży macierze, używając 7 zamiast 8 rekurencyjnych mnożeń bloków o połowie rozmiaru. Jaki jest jego czas działania?

  1. AΘ(nlog₂ 7), około n2,81
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n2)
3.Struktury danychŚredni

Dlaczego przechodzenie tablicy jest w praktyce często znacznie szybsze niż przechodzenie listy wiązanej o tej samej długości?

  1. AElementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora
  2. BListy wiązane zawsze przechowują elementy na dysku
  3. CPrzejście tablicy ma łącznie złożoność O(1), a listy wiązanej O(n)
  4. DTablice wymagają mniej instrukcji do porównania wartości
4.Struktury danychTrudny

Jaki jest czas działania przeszukiwania wszerz (BFS) w grafie o V wierzchołkach przechowywanym jako macierz sąsiedztwa?

  1. AO(V)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
5.Teoria grafówŚredni

Ile różnych cykli Hamiltona H ma graf pełny K8? Cykle różniące się tylko wierzchołkiem startowym lub kierunkiem liczą się jako ten sam.

K8
H =
6.Teoria grafówTrudny
1917181417124201310ABCDEFG

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 5; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 5
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DF
  7. 7krawędź EF
  8. 8krawędź GB
  9. 9krawędź GC
  10. 10krawędź GD
  11. 11krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy suma jest za mała, lewy wskaźnik przesuwa się w prawo, gdy za duża, prawy w lewo, więc kroków jest najwyżej n.

Odpowiedź

C · O(n)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · Θ(nlog₂ 7), około n2,81

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy a = 7 i b = 2 nlog₂ 7 dominuje nad pracą O(n²) na dodawania, co daje około n2,81.

Odpowiedź

A · Θ(nlog₂ 7), około n2,81
3.Struktury danych

Odpowiedź: A · Elementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora

Dlaczego to jest odpowiedź

Ciągła pamięć zapewnia dobrą lokalność odwołań, a połączone węzły mogą być rozproszone i powodować wiele chybień w pamięci podręcznej.

Odpowiedź

A · Elementy tablicy leżą obok siebie, więc dobrze wykorzystują pamięć podręczną procesora
4.Struktury danych

Odpowiedź: B · O(V²)

Dlaczego to jest odpowiedź

Każdy z V wierzchołków przegląda wiersz V elementów, co daje O(V²); przy listach sąsiedztwa BFS ma złożoność O(V + E).

Odpowiedź

B · O(V²)
5.Teoria grafów

Odpowiedź: H = 2520

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Policz

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Odpowiedź

H = 2520
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź EF

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. CE (1)
2. GB (4)
3. DF (7)
4. GE (10)
5. EF (12)
6. AC (17)

numer krawędzi 5

EF

Odpowiedź

krawędź EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms