Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Co oznacza, że problem ma optymalną podstrukturę?

  1. AKażdy podproblem ma ten sam rozmiar
  2. BOptymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
  3. CProblem można rozwiązać w czasie stałym
  4. DProblem ma dokładnie jedno rozwiązanie optymalne, wspólne dla wszystkich podproblemów
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Co by wynikało, gdyby ktoś znalazł algorytm wielomianowy dla jednego problemu NP-zupełnego?

  1. AWszystkie algorytmy o czasie wykładniczym od razu działałyby w czasie liniowym
  2. BKażdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP
  3. CTylko ten jeden problem przeszedłby do P
  4. DProblem stopu stałby się rozstrzygalny
3.Struktury danychŚredni

Ile czasu zajmuje sprawdzenie, czy istnieje krawędź (u, v), przy użyciu macierzy sąsiedztwa?

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(V)
  4. DO(1)
4.Struktury danychTrudny

Jaką regułę muszą spełniać skrót i równość, by tablica mieszająca działała poprawnie?

  1. AWartości skrótu muszą być liczbami pierwszymi
  2. BRówne wartości skrótu oznaczają równe klucze
  3. CRówne klucze muszą mieć równe wartości skrótu
  4. DRóżne klucze muszą mieć różne wartości skrótu
5.Teoria grafówŚredni
ABCDEFCykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
1913101614354201798ABCDEFG

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 4; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 4
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź CE
  6. 6krawędź DE
  7. 7krawędź DF
  8. 8krawędź EF
  9. 9krawędź GB
  10. 10krawędź GC
  11. 11krawędź GD
  12. 12krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów

Dlaczego to jest odpowiedź

Optymalna podstruktura jest wymagana zarówno przez algorytmy zachłanne, jak i przez programowanie dynamiczne, by dawały poprawne odpowiedzi.

Odpowiedź

B · Optymalne rozwiązanie można zbudować z optymalnych rozwiązań jego podproblemów
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Każdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP

Dlaczego to jest odpowiedź

Ponieważ cała klasa NP redukuje się w czasie wielomianowym do dowolnego problemu NP-zupełnego, szybki algorytm dla jednego daje szybki algorytm dla wszystkich.

Odpowiedź

B · Każdy problem z NP dałoby się rozwiązać w czasie wielomianowym, więc P = NP
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Element macierzy w wierszu u i kolumnie v od razu mówi, czy krawędź istnieje; przy listach sąsiedztwa może być potrzebne przejrzenie sąsiadów u.

Odpowiedź

D · O(1)
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Równe klucze muszą mieć równe wartości skrótu

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdyby dwa równe klucze miały różne skróty, trafiłyby do różnych kubełków i wyszukiwanie by zawodziło; różne klucze mogą jednak mieć ten sam skrót.

Odpowiedź

C · Równe klucze muszą mieć równe wartości skrótu
5.Teoria grafów

Odpowiedź: ani jedno, ani drugie

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Wierzchołki nieparzyste

A, B, C, E → 4
ani jedno, ani drugie

Odpowiedź

ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BC

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. DE (3)
2. EF (4)
3. GE (8)
4. BC (10)
5. AC (13)
6. CE (14)

numer krawędzi 4

BC

Odpowiedź

krawędź BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms