Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni: Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graf regularny: |E| = n·k/2
Drzewo i las: |E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w K_n: (n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L: (Mᴸ)_ij

Metoda

Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego programowanie dynamiczne nie daje realnego przyspieszenia sortowania przez scalanie?

ASortowanie przez scalanie już jest O(n)
BSortowanie przez scalanie nie ma struktury rekurencyjnej
CProgramowanie dynamiczne działa tylko na problemach grafowych, a nie na tablicach
DJego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać

2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Algorytm Strassena mnoży macierze, używając 7 zamiast 8 rekurencyjnych mnożeń bloków o połowie rozmiaru. Jaki jest jego czas działania?

AΘ(n³)
BΘ(n²)
CΘ(n^{log₂ 7}), około n^2,81
DΘ(n² log n)

3.Struktury danychŚredni

Węzeł binarnego drzewa poszukiwań ma prawe poddrzewo. Gdzie jest jego następnik w porządku inorder?

AZawsze w jego rodzicu
BW skrajnie prawym węźle jego lewego poddrzewa
CZawsze w jego prawym dziecku
DW skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa

4.Struktury danychTrudny

Musisz zachować k najmniejszych wartości ze strumienia n liczb, używając O(k) pamięci. Które podejście działa w czasie O(n log k)?

AKopiec minimalny przechowujący wszystkie n wartości, z którego na końcu zdejmuje się k najmniejszych
BKopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość
CKolejka FIFO ostatnich k wartości
DPosortowana tablica wszystkich n wartości

5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 2× wierzchołek stopnia 4, 4× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

2 × deg 44 × deg 2

L =

6.Teoria grafówTrudny

Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 4; pominięte krawędzie się nie liczą.

k = 4

1krawędź AB
2krawędź AC
3krawędź BC
4krawędź BD
5krawędź CE
6krawędź EF
7krawędź GB
8krawędź GD
9krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowy w sortowaniu przez scalanie są rozłączne i każdą rozwiązuje się raz; DP pomaga tylko, gdy podproblemy się powtarzają, jak przy liczbach Fibonacciego.

Odpowiedź

D · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać

2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: C · Θ(n^{log₂ 7}), około n^2,81

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy a = 7 i b = 2 n^{log₂ 7} dominuje nad pracą O(n²) na dodawania, co daje około n^2,81.

Odpowiedź

C · Θ(n^{log₂ 7}), około n^2,81

3.Struktury danych

Odpowiedź: D · W skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa

Dlaczego to jest odpowiedź

Wszystkie większe klucze bliskie węzłowi są w jego prawym poddrzewie, a najmniejszy z nich to tamtejszy skrajnie lewy węzeł.

Odpowiedź

D · W skrajnie lewym węźle jego prawego poddrzewa

4.Struktury danych

Odpowiedź: B · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość

Dlaczego to jest odpowiedź

Korzeń kopca maksymalnego to największa zachowana wartość; każda mniejsza nowa wartość zastępuje go w O(log k), więc kopiec zawsze przechowuje k najmniejszych dotąd wartości.

Odpowiedź

B · Kopiec maksymalny o rozmiarze k, którego korzeń zastępuje się, gdy pojawi się mniejsza wartość

5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 6

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; K_n ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 16 = 2(L + 6) − 2

L = 6

Odpowiedź

L = 6

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź AC

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

1. EF (1)

2. GD (3)

3. BD (4)

4. AC (7)

5. AB (9)

6. CE (11)

numer krawędzi 4

Odpowiedź

krawędź AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms