Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Dlaczego programowanie dynamiczne nie daje realnego przyspieszenia sortowania przez scalanie?

  1. ASortowanie przez scalanie już jest O(n)
  2. BSortowanie przez scalanie nie ma struktury rekurencyjnej
  3. CProgramowanie dynamiczne działa tylko na problemach grafowych, a nie na tablicach
  4. DJego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Jaka jest złożoność czasowa budowania kopca binarnego z n nieposortowanych elementów metodą wstępującą (bottom-up)?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.Struktury danychŚredni

Jaki jest maksymalny możliwy współczynnik zapełnienia tablicy mieszającej z adresowaniem otwartym?

  1. ANie ma maksimum
  2. B0,5
  3. C2
  4. D1
4.Struktury danychTrudny

Klucze 5, 3, 8, 1 wstawia się w tej kolejności do pustego binarnego kopca minimalnego opartego na tablicy. Jak wygląda końcowa tablica?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.Teoria grafówŚredni
ABCDECykl EuleraŚcieżka Eulera, bez cykluani jedno, ani drugie

Czy graf spójny ma cykl Eulera, ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, czy żadne z nich? Kliknij odpowiedź.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Cykl Eulera
  2. 2Ścieżka Eulera, bez cyklu
  3. 3ani jedno, ani drugie
6.Teoria grafówTrudny
1520163297131011ABCDEFG

Znajdź łączną wagę W minimalnego drzewa rozpinającego grafu ważonego.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: D · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać

Dlaczego to jest odpowiedź

Połowy w sortowaniu przez scalanie są rozłączne i każdą rozwiązuje się raz; DP pomaga tylko, gdy podproblemy się powtarzają, jak przy liczbach Fibonacciego.

Odpowiedź

D · Jego podproblemy się nie nakładają, więc nie ma czego ponownie wykorzystać
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: A · O(n)

Dlaczego to jest odpowiedź

Suma kosztów przesiewania w dół (sift-down) po wszystkich poziomach tworzy szereg zbieżny, więc budowa kopca (heapify) działa w czasie liniowym.

Odpowiedź

A · O(n)
3.Struktury danych

Odpowiedź: D · 1

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy adresowaniu otwartym wszystkie klucze przechowuje się w samej tablicy, więc n nie może przekroczyć m; przy metodzie łańcuchowej współczynnik może być większy od 1.

Odpowiedź

D · 1
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · [1, 3, 8, 5]

Dlaczego to jest odpowiedź

Po 5, 3, 8 tablica to [3, 5, 8]; 1 trafia pod indeks 3, zamienia się z rodzicem 5, a potem z 3, co daje [1, 3, 8, 5].

Odpowiedź

C · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria grafów

Odpowiedź: Ścieżka Eulera, bez cyklu

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Stopnie

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Wierzchołki nieparzyste

A, C → 2
Ścieżka Eulera, bez cyklu

Odpowiedź

Ścieżka Eulera, bez cyklu

Ścieżka Eulera zaczyna się w jednym wierzchołku nieparzystym i kończy w drugim.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: W = 49

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Kruskala

DE (2): weź
BD (3): weź
GB (7): weź
EF (9): weź
GD (10): pomiń, zamyka cykl
GE (11): pomiń, zamyka cykl
GC (13): weź
AB (15): weź

Łączna waga

W = 2 + 3 + 7 + 9 + 13 + 15 = 49

Odpowiedź

W = 49

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms