Algorytmy i struktury danych: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 6 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Teoria grafów

Lemat o uściskach dłoni
Σ deg(v) = 2|E|
Grafy pełne
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graf regularny
|E| = n·k/2
Drzewo i las
|E| = n − 1, |E| = n − c
Liście drzewa
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
cykl: wszystkie stopnie parzyste; ścieżka: dokładnie 2 stopnie nieparzyste
Cykle Hamiltona w Kn
(n − 1)!/2
Aktualizacja w algorytmie Dijkstry
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marsze o długości L
(Mᴸ)ij

Metoda

  1. Zapisz stopień każdego wierzchołka; suma stopni jest równa dwukrotności liczby krawędzi.
  2. W zadaniach o grafach eulerowskich sprawdź, czy graf jest spójny, i policz wierzchołki o nieparzystym stopniu.
  3. Dla drzew użyj n − 1 krawędzi i lematu o uściskach dłoni.
  4. W algorytmie Dijkstry prowadź tabelę tymczasowych odległości i w każdej rundzie zatwierdzaj niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej odległości.
  5. Dla minimalnego drzewa rozpinającego posortuj krawędzie według wagi i pomijaj każdą krawędź zamykającą cykl (Kruskal) albo rozbudowuj jedno drzewo od wierzchołka startowego (Prim).

2Zadania do ćwiczenia

1.Algorytmy i złożonośćŚredni

Jaka jest zamortyzowana złożoność czasowa dodawania elementu na koniec tablicy dynamicznej, która podwaja swoją pojemność, gdy się zapełni?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algorytmy i złożonośćTrudny

Dlaczego każde wyszukiwanie oparte na porównaniach w posortowanej tablicy wymaga w najgorszym przypadku Ω(log n) porównań?

  1. AKażde porównanie zajmuje czas logarytmiczny
  2. BDrzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n
  3. CWyszukiwanie binarne jest jedynym możliwym algorytmem i wymaga log₂ n porównań
  4. DKażdy element musi być porównany co najmniej raz
3.Struktury danychŚredni

Jak działa extract-min w binarnym kopcu minimalnym?

  1. APrzeszukuje się wszystkie liście w poszukiwaniu nowego minimum
  2. BPrzenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół
  3. CUsuwa się korzeń i przesuwa wszystkie elementy o jedno miejsce w lewo
  4. DUsuwa się ostatni element tablicy
4.Struktury danychTrudny

Dlaczego ze standardowego filtru Blooma nie można po prostu usuwać elementów przez zerowanie ich bitów?

  1. AUsuwanie zwiększyłoby odsetek wyników fałszywie pozytywnych do 100%
  2. BFiltry Blooma przechowują całe elementy, których po zahaszowaniu nie da się ponownie zlokalizować
  3. CTe bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne
  4. DBitów w filtrze Blooma nie można zmieniać po jego utworzeniu
5.Teoria grafówŚredni

Drzewo ma 3× wierzchołek stopnia 3, 4× wierzchołek stopnia 4, 2× wierzchołek stopnia 5, 3× wierzchołek stopnia 2, a wszystkie jego pozostałe wierzchołki są liśćmi (stopień 1). Ile liści L ma to drzewo?

3 × deg 34 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria grafówTrudny
1596161913111710ABCDEFG

Algorytm Prima buduje minimalne drzewo rozpinające, zaczynając od wierzchołka F. Kliknij krawędź, którą dodaje jako krawędź numer 4.

start: Fk = 4
  1. 1krawędź AB
  2. 2krawędź AC
  3. 3krawędź BC
  4. 4krawędź BD
  5. 5krawędź DE
  6. 6krawędź EF
  7. 7krawędź GB
  8. 8krawędź GC
  9. 9krawędź GE

3Roztwory

1.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · O(1)

Dlaczego to jest odpowiedź

Kopiowanie wszystkich elementów następuje tylko przy potęgach dwójki; po rozłożeniu na wszystkie operacje dodawania średni koszt jednej operacji jest stały.

Odpowiedź

B · O(1)
2.Algorytmy i złożoność

Odpowiedź: B · Drzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n

Dlaczego to jest odpowiedź

Każde porównanie co najwyżej o połowę zmniejsza zbiór pozostałych możliwości, więc rozróżnienie n pozycji wymaga co najmniej log₂ n porównań.

Odpowiedź

B · Drzewo decyzyjne z n możliwymi wynikami musi mieć głębokość co najmniej log₂ n
3.Struktury danych

Odpowiedź: B · Przenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół

Dlaczego to jest odpowiedź

Ostatni element wypełnia lukę w korzeniu i jest zamieniany z mniejszym dzieckiem, dopóki nie zostanie spełniona własność kopca, co zajmuje O(log n).

Odpowiedź

B · Przenosi się ostatni element do korzenia i przesuwa go w dół
4.Struktury danych

Odpowiedź: C · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne

Dlaczego to jest odpowiedź

Wyzerowanie wspólnego bitu sprawiłoby, że inny element wyglądałby na nieobecny; zliczające filtry Blooma przechowują liczniki zamiast bitów, by umożliwić usuwanie.

Odpowiedź

C · Te bity mogą należeć także do innych elementów, co spowodowałoby wyniki fałszywie negatywne
5.Teoria grafów

Odpowiedź: L = 19

Euler, Hamilton i drzewa: graf spójny ma cykl Eulera (każda krawędź raz, powrót do startu), gdy każdy wierzchołek ma stopień parzysty, oraz ścieżkę Eulera, która nie jest cyklem, gdy dokładnie dwa wierzchołki mają stopień nieparzysty; ścieżka biegnie wtedy od jednego wierzchołka nieparzystego do drugiego. Cykl Hamiltona odwiedza każdy wierzchołek raz; Kn ma ich (n − 1)!/2. Drzewo o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi, a graf spójny o m krawędziach zachowuje drzewo rozpinające po usunięciu m − n + 1 krawędzi.

Lemat o uściskach dłoni dla drzewa

L + 41 = 2(L + 12) − 2
L = 19

Odpowiedź

L = 19

Skrót: L = 2 + Σ (d − 2) po wierzchołkach o stopniu d ≥ 3.

6.Teoria grafów

Odpowiedź: krawędź BC

Najkrótsze ścieżki i drzewa rozpinające: algorytm Dijkstry zatwierdza jeden wierzchołek na rundę: niezatwierdzony wierzchołek o najmniejszej tymczasowej odległości. Jego odległość jest wtedy ostateczna, a każdy sąsiad v dostaje d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Algorytm Kruskala buduje minimalne drzewo rozpinające, biorąc krawędzie od lekkich do ciężkich i pomijając każdą, która zamknęłaby cykl; algorytm Prima rozbudowuje jedno drzewo od wierzchołka startowego, zawsze dodając najlżejszą krawędź wychodzącą z niego. Drzewo rozpinające o n wierzchołkach ma n − 1 krawędzi.

Algorytm Prima

1. EF (13)
2. GE (10)
3. GB (11)
4. BC (6)
5. AC (9)
6. BD (16)

numer krawędzi 4

BC

Odpowiedź

krawędź BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms